वृत्त
दसवीं गणित
एनसीईआरटी-NCERT- प्रश्नावली 10.2 का हल
प्रश्न सं. 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए
प्रश्न संख्यां (1) एक बिन्दु Q से एक वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
उत्तर: (A) 7 cm
ब्याख्या
यहाँ Q दिया गया बिन्दु है
प्रश्न के अनुसार
PQ = 24 cm
OQ = 5 cm
∴ त्रिज्या = OP = ?
अब चूँकि OP वृत की त्रिज्या तथा PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है
अत:, ∠ OPQ = 900
अब पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ 252 = OP2 + 242
⇒ 625 = OP2 + 576
⇒ OP2 = 625 – 576
⇒ OP2 = 49
`:. OP = sqrt(49)`
⇒ OP = 7 cm
अत: विकल्प (A) 7 cm सही उत्तर है।
प्रश्न संख्यां (2) आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠1100, तो ∠ PTQ बराबर है
(A) 600
(B) 700
(C) 800
(D) 900
उत्तर : (B) 700
ब्याख्या
दिया गया है, TP और TQ दिये गये वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
और, OP और OQ उसी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
अत:, TP ⊥ OP
और, TP ⊥ OQ
∴ ∠ OPT = ∠ OQT = 900
अब, OPTQ एक चतुर्भुज बनाता है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के अंत: कोणों का योग = 3600 होता है।
∴ ∠ OPT + ∠ OQT + ∠ POQ + ∠ PTQ = 3600
⇒ 900 + 900 + 1100 + ∠ PTQ = 3600
⇒ 2900 + ∠ PTQ = 3600
⇒ ∠ PTQ = 3600 – 2900
⇒ ∠ PTQ = 700
अत: विकल्प (B) 700 सही उत्तर है।
प्रश्न संख्यां (3) यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 800 के कोण पर झुकी हों, तो ∠ POA बराबर है
(A) 500
(B) 600
(C) 700
(D) 800
उत्तर: (A) 500
ब्याख्या:
मान लिया कि, PA और PB दिये गये वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
और OA और OB दिये गये वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
∴ PA ⊥ OA
और PB ⊥ OB
∴ ∠OAP = 900
तथा ∠ OBP = 900
अब AOBP एक चतुर्भुज बनाता है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के अंत: कोणों का योग = 3600 होता है।
∴ ∠OAP + ∠ OBP + ∠ APB + ∠ AOB = 3600
⇒ 900 + 900 + 800 + ∠ AOB = 3600
⇒ 2600 + ∠ AOB = 3600
⇒ ∠ AOB = 3600 – 2600
⇒ ∠ ABO = 1000
अब O तथा P को मिलाया गया
त्रिभुज OAP और त्रिभुज OBP में
OA = OB
[∵ OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]
और PA = PB
[∵ PA और PB एक ही बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ हैं।]
और OP = OP
[दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।]
∴ SSS समरूपता के आधार पर
Δ OAP = Δ OBP
∴ ∠ AOP = 1/2 ∠ AOB
⇒ ∠ AOP = 1/2 × 100 0
⇒ ∠ AOP = 500
अत: विकल्प (A) 500 सही उत्तर है।
प्रश्न संख्यां (4) सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल:
मान लिया कि O केन्द्र वाला एक वृत्त है।
मान लिया कि AB इस वृत्त का व्यास है।
मान लिया RS और PQ वृत्त के व्यास AB के दोनों सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं।
अत: प्रमाणित करना है कि RS और PQ समांतर हैं।
चूँकि RS बिन्दु A पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तथा OA उसी वृत्त की त्रिज्या है।
∴ OA ⊥ RS
∴ ∠ OAR = 900
और, ∠ OAS = 900
उसी तरह, OB उसी वृत्त की दूसरी त्रिज्या है तथा PQ वृत के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा है।
अत:, OB ⊥ PQ
और ∠ OBP = OBQ = 900
अब, ∠ OAR = ∠ OBQ = 900[एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]
और ∠ OAS = ∠ OBP = 900 [एकांतर अंत: कोण हैं।]
चूँकि एकांतर अंत: कोण RS और PQ बराबर है।
अत: RS समांतर है PQ के
अत: किसी वृत के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं। प्रमाणित
प्रश्न संख्यां (5) सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल:
मान लिया कि O क़ेन्द्र वाला एक वृत्त है। जिसकी AB एक स्पर्श रेखा है।
तथा इस स्पर्श रेखा AB का वृत्त के साथ स्पर्श बिन्दु P है।
अत: प्रमाणित करना है कि OP जो कि स्पर्श रेखा पर लम्ब है वृत्त के केन्द्र O से जाती है।
इसे यह मानकर कि स्पर्श रेखा पर लम्ब वृत के केन्द्र से नहीं जाती है, अंतर्विरोध विधि से सिद्ध किया जा सकता है।
मान लिया कि स्पर्श रेखा AB के स्पर्श बिन्दु P पर लम्ब वृत्त के केन्द्र O से नहीं गुजरती है।
बल्कि यह लम्ब वृत्त के केन्द्र O से अलग एक बिन्दु O' से गुजरती है।
चूँकि , OP' समांतर है AP के
&ther4; ∠ O'PB = 900
तथा हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र तथा वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु को जोड़ने वाली रेखा, अर्थात वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
&there; OP ⊥ AB
∴ ∠ OPB = 900
इसका अर्थ यह है कि रेखा OP और O'P को सन्निपतित अर्थात एक ही होना चाहिए।
लेकिन OP तथा O'P उसी स्थिति में सन्निपतित होगा जबकि O और O' एक ही होगा।
लेकिन यहाँ माना गया है कि O' वृत्त के केन्द्र से अलग ही एक बिन्दु है, जो कि संभव नहीं है। अर्थात हमारी धारणा गलत है।
अत: यह प्रमाणित होता है कि स्पर्श बिन्दु स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
प्रश्न संख्यां (6) एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm की दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, OA = 5 cm
AB = 4 cm
अत: त्रिज्या OB =?
चूँकि, ∠ B = 900
अत: पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर
OA2 = OB2 + AB2
⇒ 52 = OB2 + 42
⇒ 25 = OB2 + 16
⇒ OB2 = 25 – 16
⇒ OB2 = 9
∴ OB = √ 9
⇒ OB = 3 cm उत्तर
प्रश्न संख्यां (7) दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त स्पर्श करती हो।
हल:
दिया गया है, बड़े वृत्त की त्रिज्या, OQ = 5 cm
तथा छोटे वृत्त की त्रिज्या, OA = 3 cm
अत: बड़े वृत्त के जीवा की लम्बाई, PQ = ?
चूँकि बड़े वृत्त की जीवा, PQ छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है
अत: छोटे वृत्त की त्रिज्या, OA ⊥ PQ
अर्थात, ∠ OAQ = 900
अब Δ OAQ में
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
OQ2 = OA2 + AQ2
⇒ 52 = 32 + AQ2
⇒ 25 = 9 + AQ2
⇒ AQ2 = 25 – 9
⇒ AQ2 = 16
∴ AQ = √ 16 = 4
⇒ AQ = 4 cm
Δ OAP में
OP = 5 cm (चूँकि यह बड़े वृत्त की त्रिज्या है।)
OA = 3 cm
जैसा कि ऊपर में गणना की गई है, PA = 4 cm
अब, PQ = PA + AQ
⇒ PQ = 4 cm + 4 cm = 16 cm
⇒ PQ = 16 cm उत्तर
Reference: