निर्देशांक ज्यामिति

दसवीं गणित

एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.1 का हल भाग3

प्रश्न (7) x–अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, –5) और (–2, 9) से समदूरस्थ हैं।

हल

दिये गये बिन्दुओं के निर्देशांक हैं (2, –5) and (–2, 9)

अत: x–अक्ष पर दिए गये बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु ज्ञात करना है।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु A(2, –5) तथ B(–2, 9) हैं

मान लिया कि दिये गये बिन्दुओं से समान दूरी पर उसी तल में x–अक्ष पर एक बिन्दु is P(x, 0)

निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम जानते हैं कि एक तल में स्थित दो बिन्दुओं P(x₁, y₁) तथा Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी PQ `=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

(a) Calculation of distance between A(2, –5) and P(x, 0)

यहाँ, x₁ = 2, y₁ = -5

और, x₂ = x, तथा y₂ = 0

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AP `=sqrt((x-2)^2+(0-(-5))^2)`

`=sqrt((x-2)^2+(0+5)^2)`

`=sqrt((x^2+4-4x)+25)`

`=sqrt((x^2-4x+4+25)`

⇒ AP `=sqrt(x^2-4x+29)` - - - - - (i)

(b) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(–2, 9) तथा P(x, 0) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x₁ = –2, y₁ = 9

तथा, x₂ = x, y₂ = 0

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BP `=sqrt((x-(-2))^2+(0-9)^2)`

`=sqrt((x+2)^2+(-9)^2)`

`=sqrt(x^2+4+4x+81)`

⇒ BP `=sqrt(x^2+4x+85)` - - - - (ii)

चूँकि बिन्दु P(x, 0) दिये गये बिन्दुओं A और B से समान दूरी पर है

अत:, AP = BP

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से हम पाते हैं कि

`sqrt(x^2-4x+29)` `=sqrt(x^2+4x+85)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर

x² – 4 x + 29 = x² + 4 x + 85

⇒ x² – 4 + 29 – (x² + 4 x + 85) = 0

⇒ x² – 4 + 29 – x² – 4 x – 85 =0

⇒ –8 x – 56 = 0

⇒ – 8 x = 56

`=> x = 56/(-8)`

⇒ x = –7

P(x, 0) में `x` का मान रखने पर

p(–7, 0)

अत: x–अक्ष पर दिये गये बिन्दु से समदूरस्थ बिन्दु है (–7, 0) उत्तर

प्रश्न (8) y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, –3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

हल

दिये गये बिन्दु हैं P(2, –3) तथा Q(10, y)

तथा उनके बीच की दूरी, PQ = 10 मात्रक

अत: `y` का मान = ?

यहाँ, x₁ = 2, y₁ = –3

तथा, x₂ = 10 और y₂ = y

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से

PQ `=sqrt((10-2)^2+(y-(-3))^2)`

`=>10=sqrt(8^2+(y+3)^2)`

`=>10=sqrt(64+y^2+9+6y)`

`=>10=sqrt(y^2+6y+73)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर

100 = y² + 6 y + 73

⇒ y² + 6 y + 73 – 100 = 0

⇒ y² + 6 y – 27 = 0

⇒ y² + 9 y – 3 y – 27 = 0

⇒ y(y + 9) – 3(y + 9) = 0

⇒ (y + 9) (y – 3) = 0

अब यदि y + 9 = 0

अत:, y = –9

तथा, यदि y – 3 = 0

अत:, y = 3

अत:, y = 3 या – 9 उत्तर

प्रश्न (9) यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(5, –3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो `x` के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

हल

दिये गये बिन्दु हैं P(5, –3) और R(x, 6)

तथा Q(0, 1) दिये गये बिन्दुओं P(5, –3) और R(x, 6) से समान दूरी पर है।

अर्थात PQ = QR

अत:, `x` = ?

तथा, QR और PR = ?

(a) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु P(5, –3) तथा Q(0, 1) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x₁ = 5, y₁ = –3

तथा, x₂ = 0 और y₂ = 1

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

PQ `=sqrt((0-5)^2+(1-(-3))^2)`

`=sqrt((-5)^2+(1+3)^2)`

`=sqrt(25+4^2)`

`=sqrt(25+16)`

⇒ PQ `=sqrt(41)` - - - - - (i)

(b) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु Q(0,1) तथा R(x, 6) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x₁ = 0 and y₁ = 1

और, x₂ = x तथा y₂ = 6

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

QR `=sqrt((x-0)^2+(6-1)^2)`

`=sqrt(x^2+5^2)`

⇒ QR `=sqrt(x^2+25)` - - - - (ii)

अब चूँकि PQ = QR

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से हम पाते हैं कि

`sqrt(41) = sqrt(x^2+25)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर

41 = x² + 25

⇒ x² = 41 – 25

⇒ x² = 16

अत:, x `=sqrt(16)`

⇒ x = ±4

(c) QR की गणना

समीकरण (ii) में `x` का मान रखने पर हम पाते हैं कि

QR `=sqrt(4^2+25)`

⇒ QR = sqrt(16+25)`

⇒ QR `= sqrt(41)` - - - - - (iii)

(d) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु P(5, –3) तथा R(x, 6) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ R = (±4, 6) [∵ x = ±4 जैसा कि गणना की गई है।]

यहाँ, x₁ = 5, y₁ = –3

और, x₂ = 4 तथा y₂ = 6

PR की गणना जब x = 4

निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

PR `=sqrt((4-5)^2 + (6-(-3))^2)`

`=sqrt((-1)^2+(6+3)^2)`

`=sqrt(1+9^2)`

`=sqrt(1+81)`

⇒ PR `=sqrt(82)`

PR की गणना जब x = –4

निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

PR `=sqrt((-4-5)^2 + (6-(-3))^2)`

`=sqrt((-9)^2+(6+3)^2)`

`=sqrt(81+9^2)`

`=sqrt(81+81)`

`=sqrt(81xx2)`

⇒ PR `= 9sqrt2`

Thus, PR `=sqrt(82)` or `9sqrt2`

अत: x = ±4, QR `=sqrt(41)` तथा PR `= sqrt(82)` or `9sqrt2` उत्तर

प्रश्न (10) `x` और `y` में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (–3, 4) से समदूरस्थ हो।

हल

दिए गये बिन्दु हैं (3, 6) और (–3, 4) जो कि बिन्दु (x, y) से समान दूरी पर है।

अत: `x`, तथा `y` के बीच संबंध = ?

मान लिया कि दिये गये बिन्दु P(3, 6) तथा Q(–3, 4) हैं।

तथा इन दिये गये बिन्दुओं से समदूरस्थ बिन्दु R(x, y) है।

अर्थात, PR = PQ

(a) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु P(3, 6) और R(x, y) के बीच की दूरी

यहाँ, x₁ = 3 and y₁ = 6

और, x₂ = x तथा y₂ = y

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

PR`=sqrt((x-3)^2+(y-6)^2`

`=sqrt((x^2+9-6x)+(y^2+36-12y))`

`=sqrt(x^2+9-6x+y^2+36-12y)`

⇒ PR `=sqrt(x^2+y^2-6x-12y+45)` - - - - (i)

(b) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु Q(–3, 4) तथा R(x, y) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x₁ = –3, y₁ = 4

तथा, x₂ = x, और y₂ = y

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

QR `=sqrt((x-(-3))^2+(y-4)^2)`

`=sqrt((x+3)^2+ y^2+16-8y)`

`=sqrt(x^2+9+6x+y^2+16-8y)`

⇒ QR `=sqrt(x^2+y^2+6x-8y+25)` - - - - - (ii)

अब चूँकि PR = QR (प्रश्न के अनुसार)

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से हम पाते हैं कि

`sqrt(x^2+y^2-6x-12y+45)` `=sqrt(x^2+y^2+6x-8y+25)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि

x² + y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25

⇒ x² + y² – 6x – 12y + 45 – (x² + y² + 6x – 8y + 25) = 0

⇒ x² + y² – x² – y² – 6x – 6x – 12y + 8y + 45 – 25 = 0

⇒ – 12x – 4 y + 20 = 0

⇒ – 4(3x + y – 5) = 0

⇒ 3x + y – 5 = 0

⇒ 3x + y = 5

अत: `x` और `y` के बीच में संबंध है 3x + y – 5 = 0 या 3x + y = 5 उत्तर

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