निर्देशांक ज्यामिति
दसवीं गणित
एनसीआरटी प्रश्नावली 7.3 का हल
त्रिभुज का का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं
निर्देशांक ज्यामिति में जब त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
प्रश्न (1) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (–1, 0), (2, –4)
हल
दिया गया है, त्रिभुज के शीर्ष = (2, 3), (–1, 0), तथा (2, –4)
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 =2, y1 = 3
तथा, x2 = –1, y2 = 0
And, x3 = 2, y3 = –4
अत:, त्रिभुज का क्षेत्रफल
=1/2[2(0–(–4)) + –1(–4–3) + 2(3–0)]
= 1/2 [2(0 + 4) + –1(– 7) + 2 × 3 ]
= 1/2 [2 × 4 + 7 + 6]
= 1/2 [8 + 7 + 6]
`=1/2xx21`
`=21/2` वर्ग मात्रक
अत: दिये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल = `21/2` वर्ग मात्रक उत्तर
(ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
हल
दिया गया है, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक = (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 =–5, y1 = –1
तथा, x2 =3 , y2 = –5
तथा, x3 = 5, y3 = 2
अत:, त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1/2 [–5(–5 – 2) + 3(2 – (–1)) + 5(–1 – (–5))
= 1/2 [(– 5 (– 7)) + 3(2+1) + 5 (– 1 + 5)]
= 1/2 [35 + (3 × 3) + (5 × 4)]
= 1/2 [35 + 9 +20]
`=1/2xx64 = 32`
अत:, दिये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल 32 वर्ग मात्रक उत्तर
प्रश्न (2) निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों:
(i) (7, – 2), (5, 1), (3, k)
हल
दिया गया है, बिन्दुओं के निर्देशांक = (7, – 2), (5, 1), (3, k)
अत: दिये गये तीनों बिन्दुओं के संरेखी होने की स्थिति में उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
अत: k = ?
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 =7, y1 = – 2
तथा, x2 = 5, y2 = 1
तथा, x3 = 3, y3 = k
अत: दिये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1/2 [7{1 – k} + 5{k – (– 2)} + 3{– 2 – 1}]
⇒ 0 = 1/2 [7 – 7k + 5{k + 2} + 3 × {– 3}]
⇒ 0 = 1/2 [7 – 7k + 5k + 10 – 9]
⇒ 0 = 1/2 [7 – 2k + 1]
⇒ 0 = 1/2 [8 – 2k]
`=> 0 =1/2xx8 – 1/2xx2k`
⇒ 0 = 4 – k
अत:, k = 4
अत: k = 4 उत्तर
(ii) (8, 1), (k, – 4), (2, – 5)
हल
दिया गया है, बिन्दुओं के निर्देशांक = (8, 1), (k, – 4), (2, – 5)
तथा बिन्दुओं के संरेखी होने की स्थिति में उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
अत: k = ?
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 = 8, y1 = 1
तथा, x2 = k, y2 = – 4
तथा, x3 = 2, y3 = – 5
अत:, त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 1/2 [8{– 4 – (–5)} + k{– 5 – 1} + 2{1 – (– 4)}]
⇒ 0 = 1/2 [8 {– 4 + 5} + k {– 6} + 2 {1+4}]
⇒ 0 = 1/2 [8 × 1 – 6k + 2 × 5]
⇒ 0 = 1/2 [8 – 6k + 10]
⇒ 0 = 1/2 [18 – 6k]
`=> 0 = 1/2xx18 – 1/2xx6k`
⇒ 0 = 9 – 3k
⇒ 3k = 9
`:. k = 9/3 =3`
अत: k = 3 उत्तर
प्रश्न (3) शीर्षों (0, –1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक = (0, –1), (2, 1) तथा (0, 3)
अत: त्रिभुज के मध्य बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = ?
तथा दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात = ?
मान लिया कि, ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्षों के निर्देशांक दिये गये हैं।
मान लिया D, E तथा F दिये गये त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं।
यहाँ त्रिभुज के शीर्ष A(0, –1), B(2, 1) तथा C(0, 3) हैं।
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 = 0, y1 = –1
तथा, x2 = 2, y2 = 1
तथा, x3 = 0, y3 = 3
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल की गणना जिसके शीर्षों के निर्देशांक दिये गये हैं
= 1/2 [{0(1 – 3)} + {2(3 – (–1))} + {0(–1 – 1)}]
= 1/2 [0 + {2(3+1)} + 0]
= 1/2 [2 × 4]
`=1/2xx8 =4`
अत:, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 4 वर्ग मात्रक
AB के मध्य–बिन्दु D के निर्देशांक की गणना
हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2) के मध्य बिन्दु का निर्देशांक
`=((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)`
अत: AB के मध्य –बिन्दु का निर्देशांक
`=((0+2)/2,\ (–1 + 1)/2)`
`=(2/2, 0/2)`
अत: D `=(1, 0)`
BC के मध्य–बिन्दु E के निर्देशांक की गणना
BC के मध्य–बिन्दु E का निर्देशांक
`=((2+0)/2, (1+3)/2)`
`=(2/2, 4/2)`
⇒ E = (1, 2)
AC के मध्य–बिन्दु F के निर्देशांक की गणना
AC के मध्य बिन्दु F का निर्देशांक
`=((0+0)/2, (–1+3)/2)`
`=(0/2, 2/2)`
⇒ F = (0, 1)
त्रिभुज DEF के क्षेत्रफल की गणना
DEF के निर्देशांक `=(1, 0)`, (1, 2) तथा (0, 1)
यहाँ, x1`=1`, y1=0
x2=1, y2=2
x3=0, y3=1
त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल
= 1/2 [{1 (2 – 1)} + {1(1 – 0)} + {0(0 – 2)}]
`= 1/2 [{1xx1} + {1xx1} + {0xx–2}]`
= 1/2 [1 + 1 + 0]
`= 1/2xx2 =1`
अत: त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज DEF तथा ABC के क्षेत्रफल का अनुपात = 1:4
अत: छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक, तथा बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात = 1:4 उत्तर
प्रश्न (4) उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (–4, –2), (v3, –5), (3, –2) और (2, 3) हैं।
हल
दिया गया है, चतुर्भुज के शीर्ष क्रमश: (–4, –2), (–3, –5), (3, –2) तथा (2, 3)
अत:, चतुर्भुज का क्षेत्रफल =?
मान लिया कि दिये गये चतुर्भुज के शीर्ष A(–4, –2), B(–3, –5), C(3, –2) तथा D(2, 3) हैं।
अब चतुर्भुज के A तथा C को मिलाया गया। AC इस चतुर्भुज का विकर्ण है, जो चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटता है।
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष दिये गये हैं।
यहाँ, x1 = –4, y1 = –2
तथा, x2 = –3, y2 = –5
तथा, x3 = 3, y3 = –2
अत:, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
= 1/2 [{– 4(–5 – (–2))} + {–3(–2 – (–2))} + {3(–2 – (–5))}]
= 1/2 [{–4 (–5 + 2)} + {–3 (–2 + 2)} + {3(–2 + 5)}]
= 1/2 [{–4 × (–3)} + {–3 × 0} + {3 × 3]
= 1/2 [12 + 0 + 9]
`=1/2xx21`
अत:, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ABC `=21/2`
त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल जिसके शीर्षों के निर्देशांक दिये गये हैं।
यहाँ, x1 = –4, y1 = –2
तथा, x2 = –3, y2 = –2
तथा, x3 = 2, y3 = 3
अत:, त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल
= 1/2 [{–4(–2 –3)} + {3(3 – (–2))} + {2(–2 – (–2))}]
= 1/2 [{–4(–5)} + {3(3+2)} + {2(–2 + 2)}]
= 1/2 [20 + {3 × 5} + {2 × 0}]
= 1/2 [20 + 15 + 0]
`=1/2xx35`
अत:, त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल `=35/2`
अत:, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल
`=21/2+35/2`
`=(21+35)/2`
`=56/2 =28`
अत: दिये गये चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक उत्तर
प्रश्न (5) कक्षा IX में आपने पढ़ा है, (अध्याय 9, उदाहरण 3), कि किसी त्रिभुज की एक मध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिमाण का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, –6), B(3, –2) and C(5, 2).
हल:
दिया गया है, त्रिभुज ABC के शीर्ष = A(4, –6), B(3, –2) तथा C(5, 2)
मान लिया कि मध्यिका AD दिये गये त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2) के मध्य बिन्दु का निर्देशांक
`=((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)`
अत: BC के मध्य बिन्दु D का निर्देशांक
`=((3+5)/2, (–2+2)/2)`
`=(8/2, 0)`
⇒ D का निर्देशांक (4, 0)
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
त्रिभुज ABD के क्षेत्रफल की गणना
यहाँ x1 = 4, y1 = –6
तथा, x2 = 3, y2 = –2
तथा, x3 = 4, y3 = 0
अत:, त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
= 1/2 [{4(–2 –0)} +{3(0 – (–6)} + {4(–6 – (–2))}]
= 1/2 [{4(–2)} + 3 × 6 + {4(–6 + 2)}]
= 1/2 [–8 + 18 + {4(–4)}]
= 1/2 [–8 + 18 – 16]
`= 1/2xx(–6)`
अत: त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = –3 वर्ग मात्रक
त्रिभुज ADC के क्षेत्रफल की गणना
यहाँ x1 = 4, y1 = –6
तथा, x2 = 4, y2 = 0
तथा, x3 = 5, y3 = 2
अत:, त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
= 1/2 [{4(0 – 2)} + {4(2 – (–6))} + {5(–6 – 0)}]
= 1/2 [{4(–2)} + {4 (2+6)} + {5 (–6)}]
= 1/2 [–8 + 4 × 8 – 30]
= 1/2 [–8 + 32 – 30]
`=1/2 xx(–6)`
अत:, त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल = –3
अत: त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल
अत: किसी त्रिभुज की एक मध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। प्रमाणित
Reference: