निर्देशांक ज्यामिति
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.4(ऐच्छिक) भाग2
प्रश्न (5) कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियोंको उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आक़ृत्ति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो, तो `Delta` PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल
(i) A को मूल बिन्दु मानते हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक की गणना
प्रश्न में दिए गए चित्र से यह स्पष्ट है कि A को मूल बिन्दु मानकर
P के निर्देशांक = (4, 6)
तथा Q = (3, 2)
तथा, R = (6, 5)
त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 = 4, y1 = 6
x2 = 3, y2 = 2
तथा, x3 = 6, y3 = 5
अत:, त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल
= 1/2 [{4 (2 – 5)} + {3 (5 – 6)} + {6 (6 – 2)}]
= 1/2 [{4 (– 3)} + {3 × (– 1)} + {6 × 4}]
= 1/2 [– 12 – 3 + 24]
`=1/2xx9 = 9/2`
अत:, त्रिभुज का क्षेत्रफल = `9/2` वर्ग मात्रक
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो, तो `Delta`PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
जब मूलबिन्दु C को लिया जाता है, तब स्पष्ट रूप से त्रिभुजाकार लॉन के निर्देशांक है:
P = (12, 2)
तथा, Q = (13, 6)
तथा, R = (10, 3)
त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
यहाँ, x1 = 12, y1 = 2
x2 = 13, y2 = 6
तथा, x3 = 10, y3 = 3
अत:, त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल की गणना
= 1/2 [{12 (6 – 3)} + {13 (3 – 2)} + {10 (2 – 6)}]
= 1/2 [{12 × 3)} + {13 × 1} + {10 × (– 4)}]
= 1/2 [36 + 13 – 40]
`=1/2xx9 = 9/2`
अत:, त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = `9/2` वर्ग मात्रक
अत:, (i) A को मूल बिन्दु के रूप में लेने पर त्रिभुजाकार मैदान का निर्देशांक़ = P(4, 6), Q (3, 2) तथा R (6, 5)
(ii) C को मूल बिन्दु के रूप में लेने पर त्रिभुजाकार मैदान का निर्देशांक़ = P(12, 2), Q(13, 6) तथा R(10, 3)
तथा त्रिभुजाकार लॉन का क्षेत्रफल `=9/2` उत्तर
प्रश्न (6) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि `(AD)/(AB) = (AE)/(AC) = 1/4` है। `Delta` ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना `Delta` ABC के क्षेत्रफल से कीजिए । (प्रमेय 6.2 और 6.6 का स्मरण कीजिए)
हल
दिया गया है, `Delta` ABC के शीर्ष = A(4, 6), B(1, 5) तथा C(7, 2)
तथा, `(AD)/(AB) = (AE)/(AC) = 1/4`
अत: `Delta` ADE का क्षेत्रफल : `Delta` ABC का क्षेत्रफल =?
जैसा कि दिया गया है, AD = 1 तथा AB = 4
अत:, DB = AB – AD = 4 – 1 = 3
उसी प्रकार चूँकि AE = 1 और AC = 4
अत:, EC = AC – AE = 4 – 1 = 3
अत:, बिन्दु D भुजा AB को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
तथा बिन्दु E भुजा AC को 1:3 के अनुपात में बिभाजित करता है।
हम जानते हैं कि,
विभाजन सूत्र , के अनुसार यदि कोई बिन्दु P(x, y) किसी दो बिन्दुओं A(x1, y1) and B(x2, y2) को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो
`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)` and `y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`
बिन्दु D के निर्देशांक की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1= 6
और, x2 = 1, y2 = 5
और, m1 = 1, m2 =3
अत:, निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार बिन्दु D के निर्देशांक
`=((1xx1+3xx4)/(1+3), (1xx5+3xx6)/(1+3))`
`=((1+12)/4, (5+18)/4)`
अत: D`=(13/4, 23/4)`
बिन्दु E के निर्देशांक की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1= 6
और, x2 = 7, y2 = 2
और, m1 = 1, m2 =3
अत:, निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार बिन्दु E के निर्देशांक
`=((1xx7+3xx4)/(1+3), (1xx2+3xx6)/(1+3))`
`=((7+12)/4, (2+18)/4)`
`=(19/4, 20/4)`
अत: E `=(19/4, 5)`
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1 = 6
`x_2 = 13/4`, and `y_2=23/4`
तथा, `x_3=19/4` and `y_3 = 5`
अत:, त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल
`=1/2[{4(23/4-5)} + {13/4(5-6)} + {19/4(6-23/4)}]`
`=1/2[{4((23-20)/4)} + {13/4xx(-1)} + {19/4((24-23)/4)}]`
`=1/2[{4xx3/4} - 13/4 + {19/4xx1/4}]`
`=1/2[3-13/4+19/16]`
`=1/2[(48-52+19)/16]`
`=1/2xx15/16 =15/32`
⇒ त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल `=15/32` वर्ग मात्रक
त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1 = 6
x2 = 1, y2 = 5
और, x3 = 7, y3 = 2
अत:, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
= 1/2 [{4 (5 – 2)} + {1 (2 – 6)} + {7 (6 – 5)}
= 1/2 [{4 × 3} + {1 ( –4 )} + {7 × 1}]
= 1/2 [12 – 4 + 7]
`=1/2xx15 = 15/2`
अत: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल `=15/2` वर्ग मात्रक
अब त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल : त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
`=15/32:15/2`
`=15/32xx2/15`
`=1/16` = 1:16
अत: त्रिभुज ADE तथा त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का अनुपात = 1:16 उत्तर
प्रश्न (7) मान लीजिए A (4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली मध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2:1 हो।
(iii) मध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2:1 हो और CR:RF = 2:1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट: व्वह बिन्दु जो तीनों मध्यिकाओं सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A`(x_1, y_1)`, B`(x_2, y_2)` और C`(x_3, y_3)` त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया है, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक = A(4, 2), B(6, 5) तथा C(1, 4)
(i) A से होकर जाने वाली मध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
चूँकि, AD त्रिभुज की भुजा BC को मध्यबिन्दु पर काटती है, अत:, BD: DC = 1:1
हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
`=((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)`
B(6, 5) तथा C(1, 4) के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक की गणना
यहाँ, x1 = 6, y1 = 5
तथा, x2 = 1, y2 = 4
अत:, D के निर्देशांक `=((6+1)/2, (5+4)/2)`
अत: D के निर्देशांक `=(7/2, 9/2)` उत्तर
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2:1 हो।
यहाँ, AP: PD = 2:1
अब, हम जानते हैं कि,
विभाजन सूत्र के अनुसार, यदि P(x, y) दो बिन्दुओं A(x1, y1) तथा B(x2, y2), को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है , तो
`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)` and `y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`
बिन्दु P के निर्देशांक की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1 = 2
और, `x_2=7/2, y_2 = 9/2`
तथा, m1 = 2, m2 = 1
अत:, बिन्दु P के निर्देशांक
`=((2xx7/2+1xx4)/(2+1), (2xx9/2+1xx2)/(2+1))`
`=((7+4)/3, (9+2)/3)`
⇒ P के निर्देशांक `=(11/4, 11/4)` उत्तर
(iii) मध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2:1 हो और CR:RF = 2:1 हो।
यहाँ दिया गया है, BQ : QE = 2:1 और CR: RF= 2:1
चूँकि, CF और BE त्रिभुज की भुजाएँ क्रमश: AB तथा BC पर मध्यिकाएँ हैं
अत:, F और E भुजाएँ AB और AC की मध्य बिन्दुएँ हैं।
AB के मध्य बिनुद F के निर्देशांक की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1 = 2
और, x2 = 6, y2 = 5
अत:, AB के मध्य बिन्दु F के निर्देशांक
`=((4+6)/2, (2+5)/2)`
`=(10/2, 7/2)`
अत:, AB के मध्य बिन्दु F के निर्देशांक `=(5, 7/2)`
बिन्दु R के निर्देशांक की गणना
यहाँ, CR:RF = 2:1
अत: यहाँ x1=1, y1=4 (C के निर्देशांक)
तथा, `x_2 = 5, y_2 = 7/2` (F के निर्देशांक)
तथा, m1 = 2, m2 = 1
अत: R के निर्देशांक `=((2xx5+1xx1)/(2+1), (2xx7/2+1xx4)/(2+1))`
`=((10+1)/3, (7+4)/3)`
अत: R के निर्देशांक `=(11/3, 11/3)`
AC के मध्य बिन्दु E की गणना
यहाँ, x1 = 4, y1 = 2
और, x2 = 1, y2 = 4
अत: AC के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक
`=((4+1)/2, (2+4)/2)`
`=(5/2, 6/2)`
अत: AC के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक `=(5/2, 3)`
बिन्दु Q के निर्देशांक की गणना
यहाँ x1= 6, y1 = 5 (बिन्दु B के निर्देशांक)
और, `x_2=5/2, y_2 =3` (बिन्दु E के निर्देशांक)
और, m1 = 2, m2 = 1
अत: Q के निर्देशांक `=((2xx5/2+1xx6)/(2+1), (2xx3+1xx5)/(2+1))`
`=((5+6)/3, (6+5)/3)`
`=(11/3, 11/3)`
अत: बिन्दु Q और R के निर्देशांक `=(11/3, 11/3)` उत्तर
(iv) आप क्या देखते हैं?
ऊपर की गणना से स्पष्ट है कि P, Q तथा R एक ही जगह पर स्थित हैं क्योंकि इन तीनों के निर्देशांक समान हैं।
इसका अर्थ है कि P, Q तथा R दिए गये त्रिभुज का केन्द्रक है।
(v) यदि A`(x_1, y_1)`, B`(x_2, y_2)` और C`(x_3, y_3)` त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
मान लिया कि, मख्यिका AD भुजा BC को D बिन्दु पर दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
तथा P दिये गये त्रिभुज का केन्द्रक है।
BC के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक की गणना
बिन्दु D के निर्देशांक
`=((x_2+x_3)/2, (y_2+y_3)/2)`
अब चूँकि P त्रिभुज का केन्द्रक है, अत: AP : PD = 2:1
बिन्दु P के निर्देशांक की गणना
यहाँ, `x_1=x_1, y_1 = y_1` (A के निर्देशांक)
तथा, `x_2=(x_2+x_3)/2`, तथा, `y_2 = (y_2+Y_3)/2`
एवं, m1 = 2, m2 = 1
अत: निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार बिन्दु P के निर्देशांक
`=((2xx(x_2+x_3)/2+1xx\x_1)/(2+1), (2xx(y_2+y_3)/2+1xxy_1)/(2+1))`
`=((x_2+x_3+x_1)/3, (y_2+y_3+Y_1)/3)`
अत: बिन्दु P के निर्देशांक `=((x_1+x_2+x_3)/3, (y_1+y_2 + y_3)/3)` उत्तर
प्रश्न (8) बिन्दुओं A(–1, –1), B(–1, 4), C(5, 4) और D(5, –1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारात्मक उत्तर दीजिए।
हल
मान लिया कि ABCD दिया गया चतुर्भुज है
प्रश्न के अनुसार चतुभुज ABCD के शीर्ष क्रमश: A(–1, –1), B(–1, 4), C(5, 4) तथा D(5, –1) हैं।
पुन: दिया गया है, P, Q, R तथा S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD तथा DA के मध्य बिन्दु हैं।
अत: PQRS किस प्रकार का चतुर्भुज है?
हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड के मध्य बिन्दु का निर्देशांक =
`((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)`
AB के मध्य बिन्दु P के निर्देशांक की गणना
यहाँ x1 = –1, y1 = –1
तथा, x2 = –1, y2 = 4
अत:, AB के मध्य बिन्दु P के निर्देशांक
`=((-1+(-1))/2, (-1+4)/2)`
`=((-2)/2, 3/2)`
अत: P के निर्देशांक `=(-2/2, 3/2)`
BC के मध्य बिन्दु Q के निर्देशांक की गणना
यहाँ x1 = –1, y1 = 4
तथा, x2 = 5, y2 = 4
अत:, मध्य बिन्दु Q के निर्देशांक
`=((-1+5)/2, (4+4)/2)`
`=(4/2, 8/2)`
अत: Q के निर्देशांक =(2, 4)
DC के मध्य बिन्दु R के निर्देशांक
यहाँ x1 = 5, y1 = –1
तथा, x2 = 5, y2 = 4
अत: DC के मध्य बिन्दु R के निर्देशांक
`=((5+5)/2, (-1+4)/2)`
`=(10/2, 3/2)`
अत: R के निर्देशांक `=(5, 3/2)`
AD के मध्य बिन्दु S के निर्देशांक की गणना
यहाँ x1 = –1, y1 = –1
तथा, x2 = 5, y2 = –1
अत: AD के मध्य बिन्दु S के निर्देशांक
`=((-1+5)/2, (-1+(-1))/2)`
`=(4/2, (-1-1)/2)`
`=(2, (-2)/2)`
अत: S के निर्देशांक = (2, –1)
अत: चतुर्भुज PQRS के निर्देशांक = `P((-2)/2, 3/2)`, Q(2, 4), `R(5, 3/2)` तथा S (2, –1)
चतुर्भुज PQRS के भुजाओं के लम्बाई की गणना
हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र के अनुसार दो बिन्दुओं P (x1, y1) तथा Q (x2, y2) के बीच की दूरी, अर्थात
PQ `=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)`
P तथ Q के बीच की दूरी अर्थात PQ के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = –1, y1=3/2
x2 = 2, y2 = 4
अत: दूरी सूत्र के अनुसार
PQ `=sqrt((-1-2)^2+(3/2-4)^2)`
`=sqrt((-3)^2+((3-8)/2)^2)`
`=sqrt(9+(-5/2)^2)`
`=sqrt(9+25/4)`
`=sqrt((36+25)/4)`
अत: PQ `=sqrt(61/4)`
Q तथा R के बीच की दूरी अर्थात QR के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = 2 , y1= 4
x2 = 5, y2 =3/2
अत: दूरी सूत्र के अनुसार, QR `=sqrt((2-5)^2+(4-3/2)^2)`
`=sqrt((-3)^2+((8-3)/2)^2)`
`=sqrt(9 + (5/2)^2)`
`=sqrt(9+25/4)`
`=sqrt((36+25)/4)`
अत:, QR `=sqrt(61/4)`
R तथा S के बीच की दूरी अर्थात RS के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = 5, y1= 3/2
x2 = 2, y2 = –1
अत: दूरी सूत्र के अनुसार,
RS`=sqrt((5-2)^2+(3/2-(-1))^2)`
`=sqrt(3^2+(3/2+1)^2)`
`=sqrt(9+((3+2)/2)^2)`
`=sqrt(9+(5/2)^2)`
`=sqrt(9+25/4)`
`=sqrt((36+25)/4)`
अत:, RS `=sqrt(61/4)`
S तथा P के बीच की दूरी की गणना, अर्थात SP के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = 2, y1= –1
x2 = –1, y2 = 3/2
अत: दूरी सूत्र के अनुसार
SP `=sqrt((2+1)^2+(-1-3/2)^2)`
`=sqrt(3^2+((-2-3)/2)^2)`
`=sqrt(9+(-5/2)^2)`
`=sqrt(9+25/4)`
`=sqrt((36+25)/4)`
अत:, SP `=sqrt(61/4)`
P तथा R के बीच की दूरी की गणना, अर्थात PR के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = –1, y1=3/2
x2 = 5, y2 =3/2
अत:, दूरी सूत्र के अनुसार
PR `=sqrt((-1-5)^2+(3/2-3/2)^2)`
`=sqrt((-6)^2+0)`
`=sqrt(36) =6`
अत:, PR = 6
S तथा Q के बीच की दूरी की गणना, अर्थात SQ के लम्बाई की गणना
यहाँ, x1 = 2, y1= –1
x2 = 2, y2 = 4
अत:, दूरी सूत्र के अनुसार
SQ `=sqrt((2-2)^2+(4-(-1))^2)`
`=sqrt(0+5^2)`
`=sqrt(25) =5`
अत:, SQ = 5
यहाँ यह स्पष्ट है कि चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाएँ बराबर हैं, परंतु उसके विकर्ण आपस में बराबर नहीं है, अत: PQRS एक समचतुर्भुज है। उत्तर
Reference: