दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
एनoसीoईoआरoटीo प्रश्नावली 3.2 (1)
एनoसीoईoआरoटीo गणित प्रश्नावली 3.2 का हल क्लास दसवीं
प्रश्न संख्या: (1) निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
अत: प्रश्न के अनुसार
x + y = 10 तथा
x – y = 4
अब x + y = 10 के लिए
⇒ x = 10 – y
| x | 5 | 4 | 6 |
| y | 5 | 6 | 4 |
तथा x – y = 4 के लिए
⇒ x = 4 + y
| x | 5 | 4 | 6 |
| y | 1 | 0 | – 1 |
दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण
चूँकि ग्राफ में रेखाएँ (7, 3) बिन्दु पर काटती हैं, अत: लड़कियों की संख्या 7 तथा लड़कों की संख्या 3 है।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य Rs 46 है। एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि एक पेंसिल का मूल्य = Rs x
तथा एक कलम का मूल्य = Rs y
अत: प्रश्न के अनुसार
5x + 7 y = 50 ----(i)
तथा, 7x + 5 y = 46 ----(ii)
समीकरण (i) के लिए
| x | 3 | 10 | –4 |
| y | 5 | 0 | 10 |
समीकरण (ii) के लिए
| x | 8 | 3 | –2 |
| y | –2 | 5 | 12 |
दिये गये स्थिति में प्राप्त रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण
चूँकि ग्राफ में रेखाएँ एक दूसरे को (3, 5) बिन्दु पर काटती है, अत: पेंसिल का मूल्य रूo 3 तथा कलम का मूल्य रूo 5 है।
प्रश्न संख्या: (2) अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
हल:
दिया गया है,
5x – 4y + 8 = 0 -----(i)
7x + 6y – 9 = 0 -----(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 5, b1 = – 4, and c1 = 8
तथा, a2 = 7, b2 = 6 और c1 = – 9
अब, a1/a2 = 5/7
तथा, b1/b2 = – 4/7
यहाँ चूँकि a1/a2 ≠ b1/b2 अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा तथा इस रैखीय समीकरण युग्म को निरूपित करने वाले ग्राफ में रेखाएँ एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी।
केवल एक हल तथा ग्राफ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है। उत्तर
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
हल:
दिया गया है, 9x + 3y + 12 = 0 ----(i)
18x + 6y + 24 = 0 ------(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 9, b1 = 3 तथा c1 = 12
तथा, a2 = 18, b2 = 6 तथा c2 = 24
अब, a1/a2 = 9/18 = 1/2
तथा, b1/b2 = 3/6 = 1/2
तथा, c1/c2 = 12/24 = 1/2
यहाँ चूँकि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ,
अत: दिये गये रेखीय समीकरण युग्म का ग्राफ संपाती (coincident) होगी अत: समीकरण के अनगिनत रूप से कई हल होंगे। उत्तर
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
हल:
दिया गया है, 2x – 3y = 8
⇒ 2x – 3y – 8 = 0 -----(i)
तथा 4x – 6y = 9
⇒ 4x – 6y – 9 = 0 -----(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 2, b1 = – 3, c1 = – 8
तथा, a2 = 4, b2 = – 6, c2 = – 9
अब, a1/a2 = 2/4 = 1/2
b1/b2 = – 3/– 6 = 1/2
तथा, c1/c2 = – 8/– 9
यहाँ चूँकि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
अत: दिया गये रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफ समांतर रेखा होगी तथा समीकरण का कोई हल नहीं होगा।
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है। उत्तर
(iii) 3/2x + 5/3y = 7
9x – 10y = 14
हल:
दिया गया है,
3/2x + 5/3y = 7
⇒ 3/2x + 5/3 y – 7 = 0 -----------(i)
9x – 10y = 14
⇒ 9x – 10y – 14 = 0 -----(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 3/2, b1 = 5/3, c1 = – 7
तथा, a2 = 9, b2 = – 10, c2 = – 14
अब, a1/a2 = 3/2/9 = 3/2 × 9
= 3/18 = 1/6
b1/b2 = 5/3/– 10
= 5/3 ×( – 10) = 5/– 30 = 1/– 6
c1/c2 = – 7/– 14 = 1/2
यहाँ चूँकि, a1/a2 ≠ b1/b2,
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत (Consistent) है। उत्तर
(iv) 5x – 3y = 11;
– 10 + 6y = – 22
हल:
दिया गया है, 5x – 3y = 11
⇒ 6x – 3y – 11 = 0 -----(i)
तथा, – 10 + 6y = – 22
⇒ – 10 + 6y + 22 = 0 ------(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 5, b1 = – 3, c1 = – 11
तथा, a2 = – 10, b2 = 6, c2 = 22
अब,
a1/a2 = 5/– 10 = – 1/2
b1/b2 = – 3/6 = – 1/2
c1/c2 = 11/– 22 = – 1/2
यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2,
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा।
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म आश्रित (संगत) हैं। उत्तर
(v) 4/3 x + 2y = 8;
2x + 3y = 12
हल:
दिया गया है,
4/3 x + 2y = 8
⇒ 4/3 x + 2y – 8 = 0 ------(i)
तथा, 2x + 3y = 12
⇒ 2x + 3y – 12 = 0 -----(ii)
समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1 x + b1 y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2 x + b2 y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि
a1 = 4/3, b1 = 2, c1 = – 8
तथा, a2 = 2, b2 = 3, c2 = – 12
अब,
a1/a2 = 4/3/2 = 4/3 × 2 = 2/3
b1/b2 = 2/3
c1/c2 = – 8/– 12 = 2/3
यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा।
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म आश्रित (संगत) हैं। उत्तर
Reference: