दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3
एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि
प्रतिस्थापन विधि
मान लिया कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के युग्म है:
x + y = 11 ----(i)
तथा 3x – 2y = 3 ----(ii)
समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि द्वार हल करने के चरण
चरण : 1.किसी एक समीकरण को लेकर उसके किसी चर को दूसरे पदों लिखा जाता है। जैसे कि एक चर y का मान दूसरे चर x के पदों में।उदारण : समीकरण (i) से
x + y = 11
⇒ x = 11 – y ------(iii)
चरण : 2. अब चर x का मान समीकरण में प्रतिस्थापित कर, समीकरण को एक ही चर y का बना दिया जाता है। फिर दूसरे चर y के मान की गणना कर ली जाती है।
उदारण :समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
3(11 – y) – 2y = 3
⇒ 33 – 3y – 2y = 3
⇒ 33 – 5y = 3
⇒ – 5y = 3 – 33
⇒ – 5y = – 30
∴ y = – 30/– 5 = 6
चरण : 3. अब इस दूसरे चर जैसे कि y का मान समीकरण में रखकर पहले चर जैसे कि x के मान की गणना कर ली जाती है।
उदाहरण:
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर
x + 6 = 11
⇒ x = 11 – 6 = 5
अत: x = 5 तथा y = 6 उत्तर
एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल गणित क्लास दसवीं
प्रश्न संख्या: (1) निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
(i) x + y = 14; x – y = 4
हल:
दिया गया है, x + y = 14 --------(i)
x – y = 4 ------(ii)
अब समीकरण (i) x + y = 14 से
x = 14 – y ------(iii)
अब समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं
(14 – y) – y = 4
⇒ 14 – y – y = 4
⇒ 14 – 2y = 4
⇒ – 2y = 4 – 14 = – 10
⇒ y = – 10/– 2 = 5
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5 = 9
अत: x = 9 तथा y = 5 उत्तर
(ii) s – t = 3; s/3 + t/2 = 6
हल:
दिया गया है, s – t = 3 -----(i)
s/3 + t/2 = 6 -----(ii)
अब, s – t = 3
⇒ s = 3 + t ------(iii)
तथा, s/3 + t/2 = 6
⇒ 2s + 3t/6 = 6
⇒ 2s + 3t = 6 × 6
⇒ 2s + 3t = 36
समीकरण (iii) से s का मान उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
⇒ 2(3 + t) + 3t = 36
⇒ 6 + 2t + 3t = 36
⇒ 5t = 36 – 6 = 30
:. t = 30/5 = 6
अब t = 6 का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
s – 6 = 3
⇒ s = 3 + 6 = 9
अत: s = 9 तथा t = 6 उत्तर
(iii) 3x – y = 3; 9x – 3y = 9
हल:
दिया गया है, 3x – y = 3 -------(i)
9x – 3y = 9 -----(ii)
अब, 3x – y = 3
⇒ 3x – 3 = y
⇒ y = 3x – 3 ------(iii)
समीकरण (iii) से y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
9x – 3 (3x – 3) = 9
⇒ 9 x – 9 x + 9 = 9
⇒ 9 = 9 जो कि सही है।
अब दिये गये रैखिक समीकरण युग्म से
a1 = 3, b1 = – 1, c1 = – 3
तथा, a2 = 9, b2 = – 3, c2 = – 9
अत: a1/a2 = 3/9 = 1/3
तथा b1/b2 = – 1/– 3 = 1/3
तथा c1/c2 = – 3/– 9 = 1/3
यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के अनगिनत हल हो सकते हैं।
अब समीकरण (i) 3x – y = 3 से
यदि x = 0
∴ y = – 3
तथा, if x = 1
⇒ 3 × 1 – y = 3
⇒ – y = 3/3 = 1
⇒ y = – 1
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के दो संभावित हल x = 0, y = – 3 तथा x = 1, y = – 1 हैं। उत्तर
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3;
0.4x + 0.5y = 2.3
हल:
दिया गया है, 0.2x + 0.3y = 1.3 -----(i)
0.4x + 0.5y = 2.3 -----(ii)
अब समीकरण (i) से
0.2x + 0.3y = 1.3
⇒ 0.2x = 1.3 – 0.3y
⇒ x = 1.3 – 0.3y/0.2 ------(iii)
अब x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं
0.4 × 1.3 – 0.3y/0.2 + 0.5y = 2.3
⇒ 0.52 – 0.12y/0.2 + 0.5y = 2.3
⇒ 0.52 – 0.12y + 0.1y/0.2 = 2.3
⇒ 0.52 – 0.12y + 0.1y = 2.3 × 0.2
⇒ 0.52 – 0.02y = 0.46
⇒ – 0.02 y = 0.46 – 0.52
⇒ – 0.02 y = – 0.06
⇒ y = 0.06/0.02 = 3
⇒ y = 3
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर
0.2x + 0.3 × 3 = 1.3
⇒ 0.2x + 0.9 = 1.3
⇒ 0.2x = 1.3 – 0.9
⇒ 0.2 x = 0.4
⇒ x = 0.4/0.2
⇒ x = 2
अत: x = 2 तथा y = 3 उत्तर
(v) 2 x + 3 y = 0
3 x – 8 y = 0
हल:
दिया गया है,
2 x + 3 y = 0 ----- (i)
3 x – 8 y = 0 ------ (ii)
Now, 2 x + 3 y = 0
⇒ 2 x = – 3 y = 0
⇒ x = – 3 y /2 -----(iii)
अब x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
3 × – 3 y/2 – 8 y = 0
⇒ – 3y/2 – 8 y = 0
⇒ – 3y – 2 × 8 y/2 = 0
⇒ – 3y – 16 y = 0
⇒ y ( – 3 – 4) = 0
⇒ y = 0/– 1 = 0
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
2 x – 3 × 0 = 0
⇒ 2 x – 0 = 0
⇒ x = 0
अत: x = 0 तथा y = 0 उत्तर
(vi) 3x/2 – 5y/3 = – 2
x/3 + y/2 = 13/6
हल:
दिया गया है, 3 x/2 – 5y/3 = – 2 ----(i)
x/3 + y/2 = 13/6 ------(ii)
अब समीकरण (i) से
3 x/2 – 5 y/3 = – 2
⇒ 9 x – 10 y/6 = – 2
⇒ 9x – 10y = – 12
⇒ 9 x = – 12 + 10 y
⇒ x = – 12 + 10 y/9 ------(iii)
अब x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
– 12 + 10y/9/3 + y/2 = 13/6
⇒ – 12 + 10y/27 + y/2 = 13/6
⇒ 2 × ( – 12 + 10y) + 27 y/54 = 13/6
⇒ – 24 + 20y + 27 y = 13 × 54 9/6
⇒ – 24 + 47 y = 117
⇒ 47y = 117 + 24 = 141
⇒ y = 141/47 = 3
अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x/3 + 3/2 = 13/6
⇒ 2x + 9/6 = 13/6
⇒ 2x + 9 = 13 × 6/6
⇒ 2x + 9 = 13
⇒ 2x = 13 – 9 = 4
∴ x = 4/2 = 2
अत: x = 2 तथा y = 3 उत्तर
प्रश्न संख्या: (2) 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 को हल कीजिए और इसमें m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = m x + 3 हो।
हल:
दिया गया है, 2x + 3y = 11 ------(i)
तथा, 2x – 4y = – 24 ------(ii)
अब समीकरण (i) के द्वारा
2x + 3y = 11
⇒ 2x = 11 – 3y
⇒ x = 11 – 3 y/2 -------(iii)
अब x मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
2 × 11 – 3y/2 – 4y = – 24
⇒ 11 – 3y – 4y = – 24
⇒ 11 – 7y = – 24
⇒ – 7y = – 24 – 11
⇒ – 7 y = – 35
⇒ y = – 35/– 7 = 5
अब y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
2x + 3 × 5 = 11
⇒ 2x + 15 = 11
⇒ 2x = 11 – 15 = – 4
⇒ x = – 4/2 = – 2
अत: x = – 2 तथा y = 5
अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है y = m x + 3 -----------(iv)
समीकरण (iv) में x तथा y का मान रखने पर
5 = m ( – 2) + 3
⇒ – 2 m = 5 – 3 = 2
⇒ m = 2 ( – 2) = – 1
अत: m = – 1 उत्तर
Reference: