बहुपद

दसवीं गणित

एनoसीoआरoटीo प्रश्नावली 2.3 (NCERT Exercise 2.3)

प्रश्न संख्या: (1). विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

प्रश्न संख्या: (1)(i) p (x) = x3 – 3x2 + 5x – 3 , g (x) = x2 – 2

हल:

10 math polynomials 1 ncert exercise 2.3

अत:, भागफल (Quotient) = x – 3

तथा शेषफल (Remainder) = 7 x – 9

प्रश्न संख्या: (1)(ii) p (x) = x4 – 3x2 + 4x + 5 , g (x) = x2 + 1 – x

हल:

10 math polynomials-2 ncert exercise 2.3

अत:, भागफल (Quotient) =x2 + x – 3 तथा (Remainder) =8 . उत्तर

प्रश्न संख्या: (1)(iii) p (x) = x4 – 5x + 6 , g (x) = 2 – x2 = – x2 + 2

हल:

10 math polynomials-3 ncert exercise 2.3

अत:, भागफल (Quotient) = – x2 – 2 तथा शेष (Remainder) = – 5x + 10 . उत्तर

प्रश्न संख्या: (2) पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है :

प्रश्न संख्या: (2) (i) t2 – 3 , 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

हल:

10 math polynomials-4 ncert exercise 2.3

चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) = 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है। उत्तर

प्रश्न संख्या: (2) (ii) x2 + 3x + 1 , 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

हल:

10 math polynomials-5 ncert exercise 2.3

चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) = 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है। उत्तर

प्रश्न संख्या: (2) (iii) x3 – 3x + 1 , x^5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

हल:

10 math polynomials-6 ncert exercise 2.3

चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) ≠ 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का गुणनखंड नहीं है। उत्तर

प्रश्न संख्या: (3) 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञाअ कीजिए, यदि इसके दो शून्यक 5/3 और – 5/3 हैं।

हल:

दिया गया है, p (x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5

तथा दिया गया है, इसके दो शून्यक 5/3 तथा – 5/3 हैं।

अत:,

(x – 5/3) (x + 5/3) = (x25/3) , 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 का एक गुणनखंड है।

अत: 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 को x25/3 से विभाजित कर पर हम तीसरा गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं।

10 math polynomials-7 ncert exercise 2.3

अत:,

3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 = (x25/3) (3x2 + 6x + 3)

= 3 (x25/3) (x2 + 2x + 1)

x2 + 2x + 1 का गुणनखंड निकालने पर हम पाते हैं कि

= (x + 1)2

= (x + 1) (x + 1)

अत: बहुपद ( polynomial) x2 + 2x + 1 का मान शून्य होगा जबकि x + 1 = 0 है।

i.e. x = – 1

चूँकि एक बहुपद का एक गुणनखंड (x + 1)2 है, अत: इसके दो शून्यक – 1 तथा – 1 हैं।

अत: दिये गये बहुपद के शून्यक 5/3 , – 5/3 , – 1 तथा – 1 हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या: (4) यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g (x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x – 4 हैं तो g (x) ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है,

भाज्य (Dividend) = x3 – 3x2 + x + 2

भागफल (Quotient) = x – 2

शेषफल (Remainder) = – 2x + 4

अत: भाजक (Divisor) g (x) = ?

हम जानते हैं कि

भाज्य (Dividend) = भाजक (Divisor) × भागफल (Quotient) + शेषफल (Remainder)

∴ भाजक × भागफल = भाज्य – शेषफल

⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + x + 2 – ( – 2x + 4)

⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4

⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2

∴ g (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2/x – 2

10 math polynomials-8 ncert exercise 2.3

अत:, g (x) = x2 – x + 1 उत्तर

प्रश्न संख्या: (5) बहुपदों p (x) , g (x) , q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिद्म को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p (x) = घात q (x)

(ii) घात q (x) = घात r (x)

(iii) घात r (x) =0

हल:

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म के अनुसार यदि p (x) और g (x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g (x) ≠ 0 हो तो हम बहुपद q (x) और r (x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि

p (x) = g (x) × q (x) + r (x)

जहाँ r (x) = 0 है अथवा r (x) की घात < g (x) की घात है।

[Ref: NCERT Book class X math बहुपद चैप्टर]

प्रश्न संख्या: (5) (i) घात p (x) = घात q (x)

हल:

अचर भाजक के लिये भागफल की घात भाज्य के घात के बराबर होता है। (i.e. जब एक बहुपद को किसी अचर से भाग दिया जाता है।)

मान लिया कि 6 x2 + 2 x + 2 को 2 से भाग दिया जाता है।

यहाँ, p (x) = 6 x2 + 2 x + 2

तथा, g (x) = 2

अत:, q (x) = 3 x2 + x + 1

तथा r (x) = 0

यहाँ p (x) की घात = q (x) = 2 की घात

अब विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच

p (x) = g (x) × q (x) + r (x)

⇒ 6x2 + 2x + 2 = (2) (3x2 + x + 1) + 0

अत: बिभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।

प्रश्न संख्या: (5) (ii) घात q (x) = deg r (x)

हल:

मान लिया कि बहुपद x3 + x को x2 से भाग दिया जाता है।

यहाँ p (x) = x3 + x g (x) = x2 q (x) = x तथा r (x) = x

स्पष्टत: q (x) की घात तथा r (x) की घात बराबर है, अर्थात 1 के बराबर है।

विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच

p (x) = g (x) × q (x) + r (x)

x3 + x = (x2) × x + x

⇒ x3 + x = x3 + x

अत: विभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।

प्रश्न संख्या: (5) (iii) घात r (x) = 0

हल:

मान लिया गया कि x3 + 1 को x2 से भाग दिया जाता है।

यहाँ, p (x) = x3 + 1

तथा, g (x) = x2

q (x) = x तथा r (x) =1

स्पष्टत: r (x) की घात = 0

विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच

p (x) = g (x) × q (x) + r (x)

⇒ x3 + 1 = x2 × x + 1

⇒ x3 + 1 = x3 + 1

अत: विभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।

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