बहुपद
दसवीं गणित
एनoसीoआरoटीo प्रश्नावली 2.3 (NCERT Exercise 2.3)
प्रश्न संख्या: (1). विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न संख्या: (1)(i) p (x) = x3 – 3x2 + 5x – 3 , g (x) = x2 – 2
हल:
अत:, भागफल (Quotient) = x – 3
तथा शेषफल (Remainder) = 7 x – 9
प्रश्न संख्या: (1)(ii) p (x) = x4 – 3x2 + 4x + 5 , g (x) = x2 + 1 – x
हल:
अत:, भागफल (Quotient) =x2 + x – 3 तथा (Remainder) =8 . उत्तर
प्रश्न संख्या: (1)(iii) p (x) = x4 – 5x + 6 , g (x) = 2 – x2 = – x2 + 2
हल:
अत:, भागफल (Quotient) = – x2 – 2 तथा शेष (Remainder) = – 5x + 10 . उत्तर
प्रश्न संख्या: (2) पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है :
प्रश्न संख्या: (2) (i) t2 – 3 , 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
हल:
चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) = 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है। उत्तर
प्रश्न संख्या: (2) (ii) x2 + 3x + 1 , 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
हल:
चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) = 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है। उत्तर
प्रश्न संख्या: (2) (iii) x3 – 3x + 1 , x^5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल:
चूँकि यहाँ शेषफल (remainder) ≠ 0 है। अत: दिया गया प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का गुणनखंड नहीं है। उत्तर
प्रश्न संख्या: (3) 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञाअ कीजिए, यदि इसके दो शून्यक 5/3 और – 5/3 हैं।
हल:
दिया गया है, p (x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5
तथा दिया गया है, इसके दो शून्यक 5/3 तथा – 5/3 हैं।
अत:,
(x – 5/3) (x + 5/3) = (x2 – 5/3) , 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 का एक गुणनखंड है।
अत: 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 को x2 – 5/3 से विभाजित कर पर हम तीसरा गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं।
अत:,
3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 = (x2 – 5/3) (3x2 + 6x + 3)
= 3 (x2 – 5/3) (x2 + 2x + 1)
x2 + 2x + 1 का गुणनखंड निकालने पर हम पाते हैं कि
= (x + 1)2
= (x + 1) (x + 1)
अत: बहुपद ( polynomial) x2 + 2x + 1 का मान शून्य होगा जबकि x + 1 = 0 है।
i.e. x = – 1
चूँकि एक बहुपद का एक गुणनखंड (x + 1)2 है, अत: इसके दो शून्यक – 1 तथा – 1 हैं।
अत: दिये गये बहुपद के शून्यक 5/3 , – 5/3 , – 1 तथा – 1 हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या: (4) यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g (x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x – 4 हैं तो g (x) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
भाज्य (Dividend) = x3 – 3x2 + x + 2
भागफल (Quotient) = x – 2
शेषफल (Remainder) = – 2x + 4
अत: भाजक (Divisor) g (x) = ?
हम जानते हैं कि
भाज्य (Dividend) = भाजक (Divisor) × भागफल (Quotient) + शेषफल (Remainder)
∴ भाजक × भागफल = भाज्य – शेषफल
⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + x + 2 – ( – 2x + 4)
⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4
⇒ g (x) × (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2
∴ g (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2/x – 2
अत:, g (x) = x2 – x + 1 उत्तर
प्रश्न संख्या: (5) बहुपदों p (x) , g (x) , q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिद्म को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q (x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(iii) घात r (x) =0
हल:
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म के अनुसार यदि p (x) और g (x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g (x) ≠ 0 हो तो हम बहुपद q (x) और r (x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
जहाँ r (x) = 0 है अथवा r (x) की घात < g (x) की घात है।
[Ref: NCERT Book class X math बहुपद चैप्टर]
प्रश्न संख्या: (5) (i) घात p (x) = घात q (x)
हल:
अचर भाजक के लिये भागफल की घात भाज्य के घात के बराबर होता है। (i.e. जब एक बहुपद को किसी अचर से भाग दिया जाता है।)
मान लिया कि 6 x2 + 2 x + 2 को 2 से भाग दिया जाता है।
यहाँ, p (x) = 6 x2 + 2 x + 2
तथा, g (x) = 2
अत:, q (x) = 3 x2 + x + 1
तथा r (x) = 0
यहाँ p (x) की घात = q (x) = 2 की घात
अब विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
⇒ 6x2 + 2x + 2 = (2) (3x2 + x + 1) + 0
अत: बिभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।
प्रश्न संख्या: (5) (ii) घात q (x) = deg r (x)
हल:
मान लिया कि बहुपद x3 + x को x2 से भाग दिया जाता है।
यहाँ p (x) = x3 + x g (x) = x2 q (x) = x तथा r (x) = x
स्पष्टत: q (x) की घात तथा r (x) की घात बराबर है, अर्थात 1 के बराबर है।
विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
x3 + x = (x2) × x + x
⇒ x3 + x = x3 + x
अत: विभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।
प्रश्न संख्या: (5) (iii) घात r (x) = 0
हल:
मान लिया गया कि x3 + 1 को x2 से भाग दिया जाता है।
यहाँ, p (x) = x3 + 1
तथा, g (x) = x2
q (x) = x तथा r (x) =1
स्पष्टत: r (x) की घात = 0
विभाजन एल्गोरिद्म की जाँच
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
⇒ x3 + 1 = x2 × x + 1
⇒ x3 + 1 = x3 + 1
अत: विभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट होता है।
Reference: