बहुपद
दसवीं गणित
एनoसीoआरoटीo प्रश्नावली 2.4 (ऐच्छिक)
प्रश्न संख्या: (1) सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए :
प्रश्न संख्या: (1)(i) 2 x3 + x2– 5x + 2 ; 1/2, 1, – 2
हल:
दिया गया है, p (x) = 2x3 + x2 – 5x + 2
तथा बहुपद के शून्यक 1/2, 1, – 2 हैं।
दिये गये बहुपद के शून्यकों की जाँच
अब,
p (1/2) = 2(1/2)3 + (1/2)2 – 5(1/2) + 2
= 2 × 1/8 + 1/4 – 5/2 + 2
= 1/4 + 1/4 – 5/2 + 2
= 1 + 1 – 10 + 8/4
= 0/4 = 0
तथा, p(1) = 2 × 13 + 12 – 5 × 1 + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 5 – 5 = 0
तथा, p( – 2) = 2( – 2)3 + ( – 2)2 – 5( – 2) + 2
= – 16 + 4 + 10 + 2 = 0
अत: 1/2, 1 तथा – 2 दिये गये बहुपद के शून्यक हैं।
दिये गये बहुपद के शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच
मान लिया कि एक व्यापक बहुपद a x3 + b x2 + c x + d है।
दिये गये बहुपद को ब्यापक बहुपद a x3 + b x2 + c x + d , से तुलना करने पर हम पाते हैं कि
a = 2, b = 1, c = – 5 and d = 2
अत: α = 1/2, β = 1 , तथा γ = – 2
शून्यकों का योगफल
= α + β + γ = 1/2 + 1 + ( – 2)
= – 1/2 = – b/a
α β + β γ + α γ = 1/2 × 1 + 1( – 2) + 1/2( – 2)
= – 5/2 = c/a
तथा शून्यकों का गुणनफल
α β γ = 1/2 × 1 × ( – 2) = – 1/1
= – 2/2 = – d/a
अत: बहुपद के शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध सत्य है।
प्रश्न संख्या: (1)(ii) x3 – 4 x2 + 5 x – 2 ; 2, 1, 1
हल:
दिया गया है, p (x) = x3 – 4 x2 + 5 x – 2
तथा बहुपद के शून्यक 2, 1, 1 हैं।
अब
p(2) = 23 – 4 (2)2 + 5 (2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 0
तथा, p(1) = 13 – 4 (1)2 + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6
= 0
अत: दिये गये बहुपद के शून्यक 2, 1, 1 हैं।
दिये गये बहुपद के शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच
एक ब्यापक बहुपद a x3 + b x2 + c x + d तथा दिये गये बहुपद की तुलना करने पर हम पाते हैं कि
a = 1, b = – 4, c = 5 and d = – 2
शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4
= – ( – 4)/1 = – b/a
दो शून्यकों को एक साथ गुणा कर शून्यकों का योगफल
(2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2
= 5 = 5/1 = c/a
शून्यकों का गुणनफल
2 × 1 × 1 = 2
= – ( – 2)/1 = – d/a
अत: बहुपद के शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध सत्य है।
प्रश्न संख्या: (2) एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीन शून्यकों के गुणनफल क्रमश: 2, – 7, – 14 हों।
हल:
मान लिया कि एक ब्यापक त्रिघात बहुपद a x3 + b x + c x + d है, तथा उसके शून्यक क्रमश: α , β तथा γ
दिया गया है, α + β + γ = 2 = 2/1 = – b/a
तथा, α β + β γ + α γ = – 7 = – 7/1 = c/a
तथा, α β γ = – 14 = – 14/1 = – d/a
अत: a = 1, b = – 2, c = – 7 तथा d = 14
अत: a, b, c तथा d के मानों को रखने पर प्राप्त त्रिघात बहुपद x3 – 2 x2 – 7 x + 14 है। उत्तर
प्रश्न संख्या: (3) यदि बहुपद x3 – 3 x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, p (x) = x3 – 3 x2 + x + 1
तथा दिया गया है, बहुपद के शून्यक a – b, a तथा a + b है।
दिये गये बहुपद की तुलना एक ब्यापक बहुपद p x3 + q x2 + r x + t से करने पर हम पाते हैं कि
p = 1 , q = – 3 , r = 1 तथा t = 1
अब बहुपद के शून्यकों का योगफल
= a – b + a + a + b = 3a = – q/p
q तथा p का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
– ( – 3)/1 = 3 a
⇒ 3 = 3 a
∴ a = 3/1 = 1
अब a का मान रखने पर हम पाते हैं कि शून्यक 1 – b, 1, 1 + b हैं।
अब शून्यकों का गुणनफल
= 1(1 – b)(1 + b) = – t/p
⇒ (1 – b)(1 + b) = – t/p
⇒ 1 – b2 = – t/p
t तथा p का मान रखने पर हम पाते हैं कि
1 – b2 = – 1/1
⇒ 1 – b2 = – 1
⇒ – b2 = – 1 – 1
⇒ b2 = 1 + 1 = 2
⇒ b = ± √2
अत: a = 1 तथा b = √2 या – √2 उत्तर
प्रश्न संख्या: (4) यदि बहुपद x4 – 6 x3 – 26 x2 + 138 x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, बहुपद के दो शून्यक 2 + √3 तथा 2 – √3 हैं।
अत: (2 + √3) (2 – √3) दिये गये बहुपद का गुणनखंड है।
अत: [x – (2 + √3)][x – (2 – √3)]
= [x – 2 – √3] [x – 2 + √3]
= x2 – 2 x + √3 x – 2x + 4 – 2 √3 – √3 x + 2 √3 – 3
= x2 – 2 x – 2x – 3 + 4
= x2 – 4x + 1
अत: x2 – 4x + 1 दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब दिये गये बहुपद को इस गुणनखंड x2 – 4x + 1 से विभाजित करने पर हमें दूसरा गुणनखंड प्राप्त हो सकता है।
अत:
x4 – 6x3 – 26 x2 + 138 x – 35
= (x2 – 4x + 1) (x2 – 2 x – 35)
अर्थात x2 – 2 x – 35 भी दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब x2 – 2 x – 35
= x2 + 5x – 7x – 35
= x(x + 5) – 7(x + 5)
= (x – 7) (x + 5)
अत: इस बहुपद का मान शून्य होगा जब x – 7 = 0 या x + 5 = 0
अत:
अब, यदि x – 7 = 0
अत: x = 7
तथा यदि x + 5 = 0
अत: x = – 5
अत: 7 तथा – 5 दिये गये बहुपद के अन्य शून्यक हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या: (5) यदि बहुपद x4 – 6 x3 + 16 x2 – 25 x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2 x + k से भाग दिया जए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, भाज्य = x4 – 6 x3 + 16 x2 – 25 x + 10
भाजक = x2 – 2 x + k
तथा शेषफल = x + a
हम जानते हैं कि,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
∴ भाज्य – शेषफल = भाजक × भागफल
⇒ x4 – 6 x3 + 16 x2 – 25 x + 10 – x – a = x4 – 6 x3 + 16 x2 – 26 x + 10 – a
अत: x4 – 6 x3 + 16 x2 – 26 x + 10 – a , x2 – 2 x + k से पूर्ण रूप से विभाजित हो जायेगा।
चूँकि, x4 – 6 x3 + 16 x2 – 26 x + 10 – a , x2 – 2 x + k से पूर्ण रूप से विभाजित होता है, अत:
शेषफल ( – 10 + 2 k) x + (10 – a – 8 k + k2) शून्य के बराबर होगा।
i.e. ( – 10 + 2 k) x = 0
तथा (10 – a – 8 k + k2) भी शून्य के बराबर होगा
अत: यदि ( – 10 + 2 k) x = 0
∴ – 10 + 2 k = 0
⇒ 2 k = 10
⇒ k = 10/2 = 5
तथा, यदि 10 – a – 8 k + k2 = 0
k = 5 का मान रखने पर हम पाते हैं कि
10 – a – 8 × 5 + 52 = 0
⇒ 10 – a – 40 + 25 = 0
⇒ 35 – 40 – a = 0
⇒ – 5 – a = 0
⇒ – a = 5
⇒ a = – 5
अत: k = 5 तथा a = – 5 उत्तर
सारांश
(1) घातों 1, 2 तथा 3 के बहुपद क्रमश: रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद तथा त्रिघात बहुपद कहलाते हैं।
(2) एक द्विघात बहुपद a x2 + b x + c जहाँ a,b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है, के रूप का होता है।
(3) एक बहुपद p (x) के शून्यक उन बिन्दुओं के x – निर्देशांक होते हैं, जहाँ y = p (x) का ग्राफ x – अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
(4) एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं और एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं।
(5) यदि द्विघात बहुपद a x3 + b x + c के शून्यक α और β हों तो
α + β = – b/a तथा α β = c/a
(6) यदि α , β , γ त्रिघात बहुपद a x3 + b x2 + c x + d के शून्यक हों, तो
α + β + γ = – b/a
तथा, α β + β γ + γ α = c/a
तथा, α β γ = – d/a
(7) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार दिये गए बहुपद p (x) और शून्येतर बहुपद g (x) के लिए दो ऐसे बहुपदों q (x) तथा r (x) का अस्तित्व है कि
p (x) = g (x) q (x) + r (x)
जहाँ r (x) = 0 है या घात r (x) < घात g (x) है।
Reference: