द्विघात समीकरण
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 4.2
गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल
प्रश्न (1) गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
हल:
दिया गया है, x2 – 3x – 10 = 0
मध्य भाग का विस्तार करने पर। यहाँ – 3x को इस तरह लिखा जा सकता है – 5x + 2x
⇒ x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x तथा 2 को उभयनिष्ठ करने पर हम पाते हैं कि
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
x – 5 को उभनिष्ठ करने पर हम पाते हैं कि
⇒ (x – 5)(x + 2) = 0
अब स्थिति (I): x – 5 = 0
⇒ x = 5
स्थिति (II): x + 2 = 0
⇒ x = – 2
अत: दिये गये द्विघात समीकरण (quadratic equation) के दो मूल – 2 तथा 5 हैं। उत्तर
प्रश्न (1) (ii) 2x2 + x – 6 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 + x – 6 = 0
मध्य भाग का विस्तार करने पर। यहाँ x को 4x – 3x लिखा जा सकता है।
⇒ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
अब 2x प्रथम दो पदों से तथा 3 को अंतिम दो पदों से उभनिष्ठ लेने पर
⇒ 2x (x + 2) – 3 (x – 2) = 0
(x + 2) को उभयनिष्ठ लेने पर
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
अत: स्थिति – I:
यदि x + 2 = 0
∴ x = – 2
तथा स्थिति (II):
यदि 2x – 3 = 0
∴ 2x = 3
⇒ x = 3/2
अत: दिये गये द्विघातीय समीकरण दो मूल है: – 2 तथा 3/2 उत्तर
प्रश्न (1) (iii) √2 x2 + 7x + 5√2 = 0
हल:
दिया गया है, √2 x2 + 7x + 5√2 = 0
मध्य पद को विस्तार करने पर। यहाँ 7x को 2x + 5x लिखा जा सकता है।
⇒ √2 x2 + 2x + 5x + 5√2 = 0
अब प्रथम दो पदों से √2 तथा अंतिम के दो पदों से 5 को उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
√2 x (x + √2) + 5x (x + √2) = 0
(x + √2) को उभनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
⇒ (x + √2) (√2 x + 5x) = 0
अब स्थिति (I):
यदि (x + √2) = 0
∴ x = – √2
स्थिति (II):
यदि √2 x + 5 = 0
∴ √2 x = – 5
⇒ x = – 5/√2
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो मूल – 5/√2 तथा – √2 हैं। उत्तर
प्रश्न (1) (iv) 2x2 – x + 1/8 = 0
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (1) (iv) का हल:
दिया गया है, 2x2 – x + 1/8 = 0
⇒ 16x2 – 8x + 1/8 = 0
⇒ 16x2 – 8x + 1 = 0
मध्य पद – 8x का विस्तार करने पर, इसे – 4x – 4x लिखा जा सकता है।
⇒ 16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
अब प्रथम दो पदों से 4x तथा अंतिम दो पदों स – 1 उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि
4x (4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
अब 4x – 1 उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
(4x – 1) (4x – 1) = 0
यदि 4x – 1 = 0
तो ⇒ 4x = 1
⇒ x = 1/4
अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही मूल 1/4 है। उत्तर
प्रश्न (1) (v) 100 x2 – 20 x + 1 = 0
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (1) (v) का हल:
दिया गया है, 100 x2 – 20 x + 1 = 0
मध्य पद – 20 x को विस्तार कर ( – 10 x – 10 x) लिखने पर हम पाते हैं कि
⇒ 100 x2 – 10 x – 10 x + 1 = 0
प्रथम दो पदों से 10 x तथा अंतिम दो पदों से ( – 1) उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
10x (10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
(10x – 1) उभनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि
(10x – 1) (10x – 1) = 0
यहाँ पर केवल एक ही स्थिति उत्पन्न होती है, i.e. 10x – 1 = 0
अत: यदि 10 x – 1 = 0
∴ 10 x = 1
⇒ x = 1/10
अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही मूल 1/10 है। Answer
प्रश्न : (2) उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल किजिये
प्रश्न : (2)(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच – पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (2) (i) का हल :
दिया गया है, जॉन और जीवंती के पास कुल कंचों की संख्यां = 45
उनमें से प्रत्येक के द्वारा 5 – 5 कंचे खो देने के बाद दोनों के पास बची हुई कुल कंचों की संख्यां = 45 – (5 × 2) = 35
अब माना कि जॉन के पास कुल कंचों की संख्यां = x
∴ पाँच कंचे खो देने के बाद जीवंती के पास बचे कंचों की संख्यां = 35 – x
अब दिया गया है कि कंचे खो देने के बाद दोनों के पास बची कंचों की संख्यां का गुणनफल = 124
∴ x (35 – x) = 124
⇒ 35 x – x2 = 124
⇒ – x2 + 35 x – 124 = 0
⇒ – x2 + 31 x + 4 x – 124 = 0
[∵ चूँकि मध्य पद ( + 35 x) को (31 x + 4 x) लिखा जा सकता है।]
अब प्रथम दो पदों से ( – x) तथा अंतिम दो पदों से (4) उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
– x (x – 31) + 4 (x – 31) = 0
(x – 31) उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
(x – 31) ( – x + 4) = 0
अब, स्थिति – I :
अत: यदि
x – 31 = 0
∴ x = 31
तथा स्थिति (II) :
यदि
– x + 4 = 0
∴ – x = 4 ⇒ x = – 4
चूँकि स्थिति (II) में कंचों की संख्या का मान ऋणात्मक है, अत: उसे छोड़ दिया जाता है।
अत: यहाँ पर केवल एक ही स्थिति (I) मान्य है।
अत: जॉन के पास कंचों की संख्यां = x + 5 = 31 + 5 = 36
चूँकि दोनों को मिलाकर कुल कंचों की संख्यां 45 थी, अत: जीवंती के पास कंचों की संख्यां = 45 – 36 = 9
∴ जॉन के पास कंचों की संख्यां = 36 तथा जीवंती के पास कंचों की संख्यां = 9 उत्तर
प्रश्न (2) (ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रूपयों में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गये खिलौने की संख्यां को घटाने से प्राप्त संख्यां के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रू थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौने की संख्यां ज्ञात करना चाहेंगे।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (2) (ii) का हल :
माना कि एक दिन में खिलौने के उत्पादन की संख्यां = x
∴ अत: प्रत्येक दिन उत्पादन मूल्य = 55 – x
दिया गया है, किसी एक दिन निर्माण लागत = 750 रू
∴ अत: खिलौने की संख्यां × निर्माण लागत = कुल निर्माण की लागत
⇒ x × (55 – x) = 750
⇒ 55x – x2 = 750
⇒ – x2 + 55x – 750 = 0
⇒ x2 – 55x + 750 = 0
[दोनों तरफ से minus (–) उभनिष्ठ लेने पर]
मध्य पद को विस्तारित करने पर हम पाते हैं कि
x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
अब यदि
x – 25 = 0
∴ x = 25
तथा यदि
(x – 30) = 0
∴ x = 30
अत: खिलौनों की संख्यां = 25 या 30 उत्तर
प्रश्न (3) ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 तथा गुणनफल 182 हो।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (3) का हल :
माना कि पहली संख्यां = x
चूँकि दिया गया है कि दोनों संख्या का योग = 27
∴ दूसरी संख्या = 27 – x
अब दिया गया है, कि दोनों संख्या का गुणनफल = 182
∴ x (27 – x) = 182
⇒ 27 x – x2 = 182
⇒ – x2 + 27 x = 182
⇒ – x2 + 27 x – 182 = 0
दोनों तरफ से minus (–) उभनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि
x2 – 27 x + 182 = 0
अब मध्य पद का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि
x2 – 14 x – 13 x + 182 = 0
⇒ x (x – 14) – 13 (x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
अब यदि
x – 14 = 0
∴ x = 14
अत: दूसरी संख्या = 27 – 14 = 13
अत: ज्ञात किया जाने वाली संख्या 14 तथा 13 हैं। उत्तर
प्रश्न: (4) दो क्रमागत घनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 365 हो।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (4) का हल :
मान लिया गया कि पहली संख्या = x
अत: दूसरी संख्या = x + 1
अब दिया गया है, x2 + (x + 1)2 = 365
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 365
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2 a b]
⇒ 2 x2 + 2 x + 1 – 365 = 0
⇒ 2 x2 + 2 x – 364 = 0
⇒ 2 (x2 + x – 182) = 0
⇒ x2 + x – 182 = 0
मध्य पद का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि
⇒ x2 + 14 x – 13 x – 182 = 0
⇒ x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
अब यदि
x + 14 = 0
∴ x = – 14
यह संभव नहीं है, क्योंकि प्राप्त मान ऋणात्मक है, अत: इसे छोड़ दिया जाता है।
तथा, यदि
x – 13 = 0
∴ x = 13
अत: दूसरी क्रमागत संख्या = 13 + 1 = 14
अत: ज्ञात की जाने वाली संख्या 13 तथा 14 हैं। उत्तर
प्रश्न: (5) एक समकोण त्रिभुज की उँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिये।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (5) का हल :
दिया गया है, कर्ण = 13 cm
माना कि आधार = x
अत: प्रश्न के अनुसार, उँचाई = आधार – 7 cm
i.e. उँचाई = x – 7 cm
हम जानते हैं कि, कर्ण2 = उँचाई2 + आधार2
⇒ (13 cm)2 = (x – 7)2 + x2
⇒ 169 = x2 + 49 – 14 x + x2
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2 a b]
⇒ 169 = 2 x2 – 14 x + 49
⇒ 2 x2 – 14 x + 49 – 169 = 0
⇒ 2 x2 – 14 x – 120 = 0
⇒ 2 (x2 – 7 x – 60) = 0
⇒ x2 – 7 x – 60 = 0
मध्य पद का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि
⇒ x2 – 12 x + 5 x – 60 = 0
⇒ x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
अब, यदि
x + 5 = 0
∴ x = – 5
इस मान के ऋणात्मक होने के कारण इसे छोड़ दिया जाता है, अर्थात मान्य नहीं है।
तथा, यदि
x – 12 = 0
∴ x = 12 = आधार
∵ उँचाई = आधार – 7
अत: उँचाई = 12 – 7 = 5
अत: दिये गये समकोण त्रिभुज की उँचाई = 5 तथा आधार = 12
अत: प्रश्न में माँगी गई दो भुजाएँ 5 cm तथा 12 cm हैं।उत्तर
प्रश्न (6) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रूपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपये थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागते ज्ञात कीजिए।
दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (6) का हल :
माना कि दिये विशेष दिन पर निर्मित बर्तनों की कुल संख्या = x
अत: प्रश्न के अनुसार उस दिन की निर्माण लागत, = 2x + 3
प्रश्न के अनुसार दिये गये विशेष दिन को कुल निर्माण लागत = 90 रूपये
∴ x (2 x + 3) = 90
⇒ 2 x2 + 3 x = 90
⇒ 2 x2 + 3 x – 90 = 0
मध्य पद का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि
2 x2 – 12 x + 15 x – 90 = 0
⇒ 2 x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
अब, यदि
2 x + 15 = 0
∴ 2 x = – 15
⇒ x = – 15/2
इस मान के ऋणात्मक होने के कारण इसे छोड़ दिया जाता है, अर्थात मान्य नहीं है।
तथा, यदि
x – 6 = 0
∴ x = 6
अत: दिये गये विशेष दिन को निर्मित नगों की संख्या = 6
अब ∵ एक नग की निर्माण लागत = 2x + 3
= 2 × 6 + 3 = 15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तथा प्रत्येक नग की निर्माण लागत = 15 रूपये उत्तर
Reference: