द्विघात समीकरण
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 4.3
प्रश्न संख्या (1) यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
प्रश्न संख्या (1) (i) 2x2 – 7x + 3 = 0
हल
दिया गया है, 2x2 – 7x + 3 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये द्विघात समीकरण के अनुसार, a = 2, b = 7 and c = 3
∴ b2 – 4ac = 72 – 4 × 2 × 3
= 49 – 24 = 25
चूँकि, b2 – 4ac > 0 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
दिया गया द्विघात समीकरण है
2x2 – 7x + 3 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने के क्रम में, दिये गये द्विघात समीकरण में दोनों तरफ 2 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
x2 – 7/2 x + 3/2 = 0
⇒ x2 – 2 (7/2) x + 3/2 = 0
⇒ x2 – 2 (7/2) x = – 3/2
दोनों तरफ (7/4) 2 को जोड़ने पर हम पाते हैं,
x2 – 2 (7/2)x + (7/4) 2 = (7/4) 2 – 3/2
⇒ (x – 7/4) 2 = 49/16 – 3/2
⇒ (x – 7/4) 2 = 49 – 24/16
⇒ (x – 7/4) 2 = 25/16
⇒ x – 7/4 = 25/16
⇒ x – 7/4 = ± 5/4
⇒ x = 5/4 + 7/4 or x = – 5/4 + 7/4
⇒ x = 12/4 or x = 2/4
⇒ x = 3 or x = 1/2
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल हैं, 3 तथा 1/2
प्रश्न संख्या (1) (ii)2x2 + x – 4 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 + x – 4 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये द्विघात समीकरण में, a = 2, b = 1 and c = – 4
∴ D = b2 – 4ac
⇒ D = 12 – 4 × 2 × (– 4)
⇒ D = 1 + 32 = 33
Since, D > 0 thus two roots of the given equation exist
चूँकि, D = b2 – 4ac > 0 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
दिया गया द्विघात समीकरण है, 2x2 + x – 4 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने के क्रम में दिये गये द्विघात समीकरण के दोनों तरफ से 2 उभयनिष्ठ लेने पर
2(x2 + x/2 – 4/2) = 0
⇒ x2 + 1/2 x – 2 = 0
⇒ x2 + 2 × 1/4 x – 2 = 0
⇒ x2 + 2 × 1/4 x = 2
उपरोक्त समीकरण के दोनों तरफ (1/4) 2 जोड़ने पर
⇒ x2 + 2 × 1/4 x + (1/4) 2 = 2 + (1/4) 2
⇒ (x + 1/4) 2 = 2 + 1/16
⇒ ( x + 1/4) 2 = 32 + 1/16
⇒ ( x + 1/4) 2 = 33/16
⇒ x + 1/4 = ± √33/4
⇒ x = ± √33/4 – 1/4
⇒ x = √33/4 – 1/4 or – √33/4 – 1/4
⇒ x = √33 – 1/4 or – √33 – 1/4
अत: दिये गये समीकरन के दो मूल, √33 – 1/4 तथा – √33 – 1/4 हैं।
प्रश्न संख्या (1) (iii)4x2 + 4 √ 3x + 3 = 0
हल:
दिया गया है, 4x2 + 4 √ 3x + 3 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये समीकरण में, a = 4, b = 4 √3 and c = 3
⇒ D = (4 √3)2 – 4 × 4 × 3
⇒ D = 48 – 48 = 0
चूँकि, D = 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही वास्तविक मूल होगा।
अब, 4x2 + 4 √ 3x + 3 = 0
दिये गये द्विघात समीकरण में 4 उभयनिष्ठ लेने पर
⇒ 4 (x2 + 4 √3/4 x + 3/4 ) = 0
⇒ x2 + √3x + 3/4 = 0
पूर्ण बनाने के क्रम में दिये गये द्विघात समीकरण के मध्य पद को 2 से गुणा तथा भाग करने पर
⇒ x2 + 2(√3/2)x + 3/4 = 0
⇒ x2 + 2(√3/2)x = – 3/4
⇒ x2 + 2(√3/2) x = – 3/4
पूर्ण बनाने के क्रम में उपरोक्त समीकरण के दोनों तरफ (√3/2)2 जोड़ने पर हम पाते हैं,
x2 + 2(√3/2) x + (√3/2)2 = – 3/4 + (√3/2)2
⇒ (x + √3/2)2 = – 3/4 + 3/4
⇒ (x + √3/2)2 = 0
⇒ x + √3/2 = 0
⇒ x = – √3/2
अत: दिये गये समीकरण का मूल है – √3/2 उत्तर
प्रश्न (1) (iv)2x2 + x + 4 = 0
हल:
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये समीकरण में, a = 2, b = 1 and c = 4
∴ D = 12 – 4 × 2 × 4
⇒ D = 1 – 32 = 31
चूँकि D प्रश्न (2) उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिये गये द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिये। प्रश्न संख्या (i) 2x2 – 7x + 3 = 0 हल: दिया गया है, 2x2 – 7x + 3 = 0 यहाँ, a = 2, b = – 7 and c = 3 हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c/2 a अत: दिये गये द्विघात समीकरण का मूल = – (– 7) ±√(– 7)2 – 4 × 2 × 3/2 × 2 = 7 ± √49 – 24 /4 = 7 ± √ 25 /4 = 7 ± 5/4 = (7 + 5) 4 and 7 – 5/4 = 12/4 and 2/4 = 3 and 1/2 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल, 3 तथा 1/2 हैं। प्रश्न संख्या (2)(ii) 2x2 + x – 4 = 0 उत्तर: दिया गया है, 2x2 + x – 4 = 0 यहाँ, a = 2, b = 1 and c = – 4 हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c/2 a या – b ± √D/2 a जहाँ, D = b2 – 4ac a, b तथा c, का मान रखने पर D = 12 – 4 × 2 × (– 4) ⇒ D = 1 – 8 × (–4) ⇒ D = 1 + 32 = 33 अत: दिये गये समीकरण के मूल = – b ±√(D)/2 a अब D, b तथा a का मान रखने पर हम पाते हैं कि – 1 ±√33/2 × 2 – 1 ±√33/4 अत: दिये गये समीकरण के मूल – 1 + √33/4 तथा – 1 – √33/4 हैं। प्रश्न (2)(iii) 4x2 + 4√ 3x + 3 = 0 हल: दिया गया है, 4x2 + 4 √ 3x + 3 = 0 यहाँ, a = 4, b = 4 √ 3 and c = 3 हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c/2 a या – b ±√D/2 a
जहाँ, D = b2 – 4ac a, b तथा c, का मान रखने पर ⇒ D = (4 √ 3 ) 2 – 4 × 4 × 3 ⇒ D = 48 – 48 = 0 अत: दिये गये समीकरण का मूल, = – b ±√D/2 a = – 4 ±√0/2 × 4 = – 4 √3/8 = √3/2 अत: दिये गये द्विघात समीकरण का मूल है √ 3 /2 प्रश्न (2)(iv) 2x2 + x + 4 = 0 हल: दिया गया है, 2x2 + x + 4 = 0 यहाँ, a = 2, b = 1 तथा c = 4 हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल =– b ±√b2 – 4 a c/2 a या – b ±√D/2 a जहाँ, D = b 2 – 4ac a, b तथा c, का मान रखने पर D = 12 – 4 × 2 × 4 ⇒ D = 1 – 32 = – 31 चूँकि D < 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होगें प्रश्न संख्या (3) निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिये: (i) x – 1/x = 3, x ≠ 0 हल: दिया गया है, x – 1/x = 3 ⇒ x – 1/x – 3 = 0 ⇒ x2 – 1 – 3x/x = 0 ⇒ x2 – 3x – 1 = 0 यहाँ, a = 1, b = – 3 and c = – 1 हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c/2 a या – b ±√D/2 a जहाँ, D = b2 – 4ac a, b तथा c, का मान रखने पर मूल = – (– 3) ± √(3)2 – 4 × 1 × (–1) /2 × 1 = 3 ± √ 9 + 4 /2 = 3 ± √13/2 ∴ 3 + √13/2 तथा 3 – √ 13/2 दिये गये द्विघात समीकरण के मूल हैं। प्रश्न (3)(ii) 1/x + 4 – 1/x – 7 = 11/30, ≠ = – 4, 7 हल: दिया गया है, 1/x + 4 – 1/x – 7 = 11/30 x – 7 – (x + 4)/(x + 4)(x – 7) = 11/30 ⇒ x – 7 – x – 4)/(x + 4)(x – 7) = 11/30 ⇒ – 11/(x + 4)(x – 7) = 11/30 बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर ⇒ 11(x + 4)(x – 7) = – 11 × 30 ⇒ 11(x2 – 7x + 4x – 28) = – 330 ⇒ 11(x2 – 3x – 28) = – 330 ⇒ 11x2 – 33x – 308 = – 330 ⇒ 11x2 – 33x – 308 + 330 = 0 ⇒ 11x2 – 33x + 22 = 0 11 उभयनिष्ठ लेने पर ⇒ 11(x2 – 3x + 2) = 0 x2 – 3x + 2 = 0 मध्य पद को विस्तारित करने पर ⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0 ⇒ x(x – 2)– 1(x – 2)= 0 ⇒ (x – 1)(x – 2) = 0 अब यदि x – 1 = 0 ∴ x = 1 और यदि x – 2 = 0 ∴ x = 2 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो मूल 1 तथा 2 हैं - उत्तर
Reference: