द्विघात समीकरण

NCERT प्रश्नावली 4.3 - Q 4 - 11

प्रश्न संख्या (4) 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात आयु के व्युत्क्रम का योग ¹/₃ है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिये।

हल:

मान लिया गया कि रहमान की वर्तमान आयु = x

अत: रहमान की आयु अब से 3 वर्ष पूर्व = x – 3

तथा रहमान की आयु अब से 5 वर्षों बाद = x + 5

प्रश्न के अनुसार

¹/_{x – 3} + ¹/_{x + 5} = ¹/₃

⇒ ^{x + 5 + x – 3}/_{(x – 3)(x + 5)} = ¹/₃

⇒ ^{2x + 2}/_{x² + 5x – 3x – 15} = ¹/₃

⇒ ^{2x + 2}/_{x² + 2x – 15} = ¹/₃

बज्र गुणन (cross multiplication) करने पर

⇒ 3(2x + 2) = x² + 2x – 15

⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15

⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0

⇒ x² + 2x – 6x – 21 = 0

⇒ x² – 4x – 21 = 0

मध्य पद को विस्तारित करने पर

⇒ x² – 7x + 3x – 21 = 0

⇒ x(x – 7) + 3 (x – 7) = 0

⇒ (x + 3)(x – 7) = 0

अब, यदि x + 3 = 0

∴ x = – 3

तथा यदि x – 7 = 0

&there; x = 7

x के ऋणात्मक मान को छोड़ देने पर दिये गये द्विघात समीकरण का मूल = 7 है।

अत: रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।

प्रश्न संख्या (5) एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गये अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वार दोनों विषयोंमें प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया गया कि शेफाली को गणित में मिले अंक = x

प्रश्न के अनुसार, शेफाली को गणित तथा अंग्रेजी में मिले अंकों का योग = 30

अत: शेफाली को अंग्रेजी में मिला अंक = 30 – x

यदि शेफाली को गणित में 2 अंक अधिक मिलते तो उसको गणित में मिला अंक = x + 2

और यदि शेफाली को अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते तो उसको अंगरेजी में मिला अंक = 30 – x – 3

= 27 – x

अब प्रश्न के अनुसार, (x + 2)(27 – x) = 210

⇒ 27x – x² + 54 – 2x = 210

⇒ – x² + 25x – 2x + 54 = 210

⇒ – x² – 25x + 54 = 210

⇒ – x² – 25x + 54 – 210 = 0

⇒ x² – 25x – 156 = 0

दोनों तरफ से ऋण (minus) उभयनिष्ठ लेने पर

⇒ – (x² – 25x + 156) = 0

⇒ x² – 25x + 156 = 0

मध्य पद (– 25x) को विस्तारित करने पर

⇒ x² – 12x – 13x + 156 = 0

⇒ x(x – 12) – 13(x – 12) = 0

⇒(x – 12)(x – 13) = 0

अब स्थिति - (I)

यदि x – 12 = 0

∴ x = 12

अत: शेफाली के गणित का अंक = 12

अत: अंग्रेजी का अंक = 30 – 12 = 18

स्थिति -(II)

यदि x – 13 = 0

∴ x = 13

अत: गणित में मिला अंक = 13

तथा अंग्रेजी में मिला अंक = 30 – 13 = 17

अत: शेफाली को गणित में मिला अंक = 12 तथा अंग्रेजी में मिला अंक = 18 या गणित में मिला अंक = 13 तथा अंग्रेजी में मिला अंक = 17

प्रश्न संख्या (6) एक आयताकार खेत का विकर्ण असकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

मान कि दिये गये खेत की छोटी भुजा = x मीटर

∴ विकर्ण = x + 60 मीटर

तथा बड़ी भुजा = x + 30 मीटर

हम जानते हैं कि किसी समकोण त्रिभुज का विकर्ण² = लम्ब² + आधार ²

⇒ (x + 60)² = (x + 30) ² + x²

⇒ x² + (2 × x × 60) + (60)²

= x² + (2 × x × 30) + (30)² + x²

⇒ x² + 120x + 3600

= x² + 60x + 900 + x²

⇒ x² + 120x + 3600 = 2x² + 60x + 900

⇒ x² + 120x + 3600 – (2x² + 60x + 900) = 0

⇒ x² + 120x + 3600 – 2x² – 60x – 900 = 0

⇒ (x² – 2x²) + (120x – 60x) + (3600 – 900) = 0

⇒ – x² + 60x + 2700 = 0

ऋण (minus) को उभयनिष्ठ लेने पर

⇒ – (x² – 60x – 2700) = 0

⇒ x² – 60x – 2700 = 0

मध्य पद (– 60x) को विस्तारित करने पर

⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0

⇒ x (x – 90) + 30 (x – 90) = 0

⇒ (x + 30)(x – 90) = 0

अब, यदि x + 30 = 0

∴ x = – 30

ऋणात्मक मान को त्याग दिया जाता है।

अब यदि x – 90 = 0

∴ x = 90

अत: दिये गये खेत की छोटी भुजा = 90 मीटर

अत: दिये गये खेत की बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मीटर

अत: दिये गये खेतों की भुजा 120 मीटर तथा 90 मीटर है।

प्रश्न संख्या : (7) दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएं ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि बड़ी संख्या = x

अत: प्रश्न के अनुसार छोटी संख्या का वर्ग = 8x

चूँकि प्रश्न के अनुसार दोनों संख्याओं के वर्गों का अंतर =1 80 है।

अत: x² – 8x = 180

⇒ x² – 8x – 180 = 0

मध्य पद (– 8x) को विस्तारित करने पर जिसे (– 18x + 10x) लिखा जा सकता है।

⇒ x²– 18x + 10x – 180 = 0

⇒ x(x – 18) + 10 (x – 18) = 0

⇒ (x + 10)(x – 18) = 0

अब यदि x + 10 = 0

∴ x = – 10

चूँकि यह ऋणात्मक है, अत: इसे त्याग दिया जाता है।

अब यदि x – 18 = 0

∴ x = 18

चूँकि छोटी संख्या का वर्ग = 8x

= 8 × 18

= 144

अत: छोटी संख्या = √144

= 12

अत: छोटी संख्या = 12 तथा बड़ी संख्या = 18

प्रमाण:

दिया गया है, दोनों संख्याओं के वर्गों का अंतर = 180

∴ 18² – 12² = 324 – 144 = 180

प्रश्न संख्या (8) एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दूरी = 360\ km

मान लिया कि रेलगाड़ी की चाल =x km//h

मान लिया कि इस गति पर दूरी तय करने में लिया गया समय = t घंटा

अब प्रश्न के अनुसार रेलगाड़ी की बढ़ी हुई गति = x + 5 km/h

∴ बढ़ी हुई गति में दिये गये दूरी को तय करने में लिया जाने वाला समय = t – 1 घंटा

हम जानते हैं कि समय = ^दूरी / _चाल

∴ t = ³⁶⁰/_x – – – (i)

और, t – 1 = ³⁶⁰/_{x + 5}

⇒ t = ³⁶⁰/_{x + 5} + 1 ––––(ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) के अनुसार

³⁶⁰/_x = ³⁶⁰/_{x + 5} + 1

⇒ ³⁶⁰/_x – ³⁶⁰/_{x + 5} = 1

⇒ ^{(360(x + 5)) – 360x)}/_{x(x + 5)} = 1

⇒ ^{360x + 1800 – 360x}/_{x² + 5x} = 1

⇒ 1800 = x² + 5x

⇒ x² + 5x – 1800 = 0

मध्य पद (5x) को विस्तारित करने पर

⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0

⇒ x(x + 45) – 40(x + 45) = 0

⇒ (x + 45)(x + 40) = 0

अब, यदि x + 45 = 0

∴ x = – 45

चूँकि यह मान ऋणात्मक है, अत: इसे त्याग दिया जाता है।

तथा यदि x – 40 = 0

∴ x = 40

अत: रेलगाड़ी की चाल = 40 km/h

प्रश्न संख्या (9) दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9 ³/₈ घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वार अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया गया कि छोटे व्यास वाला नल को हौज भरने में लगा समय = x घंटा

अत: प्रश्नानुसार बड़े व्यास वाले नल को हौज भरने में लगने वाला समय = x – 10 घंटे

there4; 1 घंटे में छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज का भरा जाने वाला भाग = ¹/_x

तथा 1 घंटे में बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज का भरा जाने वाला भाग = ¹/_{x – 10}

दिया गया है, ⁷⁵/₈ घंटे में दोनों नल मिलकर 1 हौज को भरते हैं।

∴ 1 दोनों नल हौज के ⁸/₇₅ भाग को भरेगा।

∴ ¹/_x + ¹/_{x – 10} = ⁸/₇₅

⇒ ^{(x – 10) + x}/_{x (x – 10)} = ⁸/₇₅

⇒ ^{x – 10 + x}/_{x² – 10x} = ⁸/₇₅

⇒ ^{2x – 10}/_{x² – 10x} = ⁸/₇₅

बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर

⇒75(2x – 10) = 8(x² – 10x)

⇒ 150x – 750 = 8x² – 80x

⇒ 150x – 750 – (8x² – 80x) = 0

⇒ 150x – 750 – 8x² + 80x = 0

⇒ – 8x² + 80x + 150x – 750 = 0

⇒ – (8x² – 80x – 150x + 750) = 0

⇒ 8x² – 80x – 150x + 750 = 0

⇒ 8x² – 230x + 750 = 0

⇒ 2(4x² – 115x + 375) = 0

⇒ 4x² – 115x + 375 = 0

⇒ 4x² – 100x – 15x + 375 = 0

⇒ 4x (x – 25) – 15 (x – 25) = 0

⇒ (4x – 15)(x – 25) = 0

Now, if 4x – 15 = 0

∴ 4x = 15

⇒ x = ¹⁵/₄

चूँकि यह समय दिये गये समय से कम है, अत: इसे त्याग दिया जाता है।

अब यदि x – 25 = 0

∴ x = 25

अत: छोटे व्यास वाले नल द्वार हौज को भरने में लगने वाला समय = 25 घंटे

∴ बड़े व्यास वाले नल द्वार हौज को भरने में लगने वाला समय = 25 – 10 = 15 घंटे

अत: छोटे व्यास वाला नल 25 घंटे में तथा बड़े व्यास वाला नल 15 घंटे में हौज को भरेगा।

प्रश्न संख्या (10) मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132\ km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए) । यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया गया कि सवारी गाड़ी की चाल = x km/h

अत: एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = x + 11 km/h

दिया गया है, दूरी = 132\ km

मान लिया गया कि सवारी गाड़ी द्वार लिया जाने वाला समय = t घंटा

दिया गया है, कि एक्सप्रेस गाड़ी द्वार 1 घंटा कम समय लिया जाता है।

∴ अत: एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा लगने वाला समय = t – 1 घंटा

हम जानते हैं कि, समय = ^दूरी / _समय

∴ t = ¹³²/_x –––(i)

तथा t – 1 = ¹³²/_{(x + 11)}

⇒ t = ¹³²/_{x + 11} + 1 – – – –(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) के अनुसार

⇒ ¹³²/_x = ¹³²/_{x + 11} + 1

⇒ ¹³²/_x – ¹³²/_{x + 11} = 1

⇒ ^{132(x + 11) – 132x}/_{x(x + 11)} = 1

⇒ ^{132x + 1452 – 132x}/_{x² + 11x = 1}

⇒ ¹⁴⁵²/_{x² + 11x} = 1

बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर हम पाते हैं कि

1452 = x² + 11x

⇒ x² + 11x – 1452 = 0

मध्य पद को विस्तारित करने पर

x² + 55x – 33x – 1452 = 0

⇒ x(x + 55) – 33(x + 55) = 0

⇒ (x + 55)(x – 33) = 0

अब यदि x + 55 = 0

∴ x = – 55

चूँकि यह मान ऋणात्मक है, अत: इसे त्याग दिया जाता है।

अब यदि x – 33 = 0

∴ x = 33 (सवारी गाड़ी की गति)

अत: सवारी गाड़ी की गति = 33 km/h

अत: एक्सप्रेस गाड़ी की गति = 33 + 11 = 44 km/h

∴ दोनों गाड़ी की औसत गति = ^{33 + 44}/₂

= ⁷⁷/₂ = 38.5 km/h उत्तर

प्रश्न संख्या (11) दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468\ m² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24\ m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

माना कि पहले वर्ग की एक भुजा = a

तथा दूसरे वर्ग की एक भुजा = b

दिया गया है, दोनों वर्गों के क्षेत्रफल का योग = 468 m²

तथा दोनों वर्गों के परिमापों का अंतर = 24\ m

हम जानते हैं कि वर्ग की परिमाप = 4 × भुजा

अत: पहले वर्ग की परिमाप = 4 × a = 4a

तथा दूसरे वर्ग की परिमाप = 4 × b = 4b

∵ दोनों वर्गों के परिमाप में अंतर = 24m

:. 4a – 4b = 24m

⇒ 4(a – b) = 24m

⇒ a – b = ²⁴/₄ m

⇒ a – b =

⇒ a = 6 + b m – – – i)

हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

अत: पहले वर्ग की भुजा = a²

तथा दूसरे वर्ग की भुजा = b²

प्रश्न के अनुसार,

a² + b² = 468

समीकरण (i) से a = 6 + b का मान रखने पर

⇒ (6 + b)² + b² = 468

⇒ 6² + b² + (2 × 6 × b) + b² = 468

= 36 + b² + b² + 12b = 468

⇒ 2b² + 12b + 36 = 468

⇒ 2b² + 12b + 36 – 468 = 0

⇒ 2b² + 12b – 432 = 0

⇒ 2(b² + 6b – 216) = 0

⇒ b² + 6b – 216 = 0

मध्य पद (6b) को विस्तारित करने पर हम पाते हैं कि

b² + 18b – 12b – 216 = 0

⇒ b(b + 18) – 12(b + 18) = 0

⇒ (b + 18)(b – 12) = 0

अब, यदि b + 18 = 0

∴ b = – 18

चूँकि भुजा का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है, अत: इस ऋणात्मक मान का त्याग कर दिया जाता है।

तथा यदि b– 12 = 0

∴ b = 12

इस मान को समीकरण (i) में रखने पर

a = 6 + b = 6 + 12

⇒ a = 18

अत: एक वर्ग की भुजा = ¹²/ _m तथा दूसरे वर्ग की भुजा ¹⁸/ _m

MCQs Test Science

10Math-hindi-home

10-Math-home

Reference:

---

---