द्विघात समीकरण
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 4.4
प्रश्न संख्या (1) निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
प्रश्न संख्या (1) (i) 2x2 – 3x + 5
हल:
दिया गया है, 2x2 – 3x + 5
यहाँ, a = 2, b = – 3 and c = 5
हम जानते हैं कि D = b2 – 4ac
∴ D =(– 3)2 – 4 × 2 × 5
⇒ D = 9 – 40 = – 31
यहाँ चूँकि, D<0
∴ अत: दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होंगे।
प्रश्न संख्या (1) (ii)3x2 – 4 √ 3 x + 4 = 0
हल:
दिया गया है, 3x2 – 4 √ 3 x + 4 = 0
यहाँ, a = 3, b = – 4 √3 and c = 4
हम जानते हैं कि D = b2 – 4ac
∴ D =(–4 √3)– 4 × 3 × 4
⇒ D = 16 × 3 – 48
⇒ D = 48 – 48 = 0
यहाँ चूँकि D = 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल बराबर तथा वास्तविक होंगे, अर्थात एक ही मूल होंगे।
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण के मूल = – b ± √ D /2a
= –(–4 √3) ± √0/2 × 3
= 4 √3/6
⇒ मूल = 2√3/3 Answer
प्रश्न संख्या (1) (iii)2x2 – 6x + 3 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 – 6x + 3 = 0
यहाँ, a = 2, b = – 6 and c = 3
हम जानते हैं कि D = b2 – 4ac
∴ D = (– 6)2 – 4 × 2 × 3
⇒ D = 36 – 24
⇒ D = 12
चूँकि D >0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
हम जानते हैं कि = – b ± √D /2a
∴ मूल = –(– 6) ± √ 12/2 × 2
= 6 + – √3 × 4/4
= 6 ± 2 √3/4
= 2(3 ± √3)/4
= 3 ±√3/2
∴ मूल = 3 + √3/2 and 3 – √3/2 Answer
प्रश्न संख्या (2) निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
प्रश्न संख्या (2) (i) 2x2 + kx + 3 = 0
हल:
हम जानते हैं कि, D = b2 – 4ac तथा किसी द्विघात समीकरण के दोनों वास्तविक मूल तभी बराबर होते हैं जब D = 0 होता है।
दिया गया है,2x2 + kx + 3 = 0
यहाँ, a = 2, b = k and c = 0
&thre4; D = k2 – 4 × 2 × 3
⇒ k2 – 24 = 0
[∵ चूँकि मूल के बराबर होने की स्थिति में D = 0 होता है।]
⇒ k2 = 24
⇒ k = √ 24
k = √6 × 4
⇒ k = 2 √ 6 उत्तर
प्रश्न संख्या (2) (ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल:
दिया गया है, kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0
यहाँ, a = k, b = 2k and c = 6
हम जानते हैं कि D = b2 – 4ac
∴ D = 2k2 – 4 × k × 6
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण के लिए मूल तभी बराबर होते हैं, जब D = 0
अत: D = 0 रखने पर, हम पाते हैं कि
2k2 – 4 × k × 6 = 0
⇒ 4k2 – 24k = 0
⇒ 4k2 – 6k = 0
⇒ k2 – 6k = 0
⇒ k2 = 6k
⇒ k = 6 उत्तर
प्रश्न संख्या (3) क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दोगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800\ m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया गया कि बगिया की चौड़ाई = x
∴ प्रश्नानुसार बगिया की लंबाई = 2x
दिया गया है, क्षेत्रफल = 800 m2
हम जानते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
∴ 800m2 = 2x × x
⇒ 2x2 = 800m2
⇒ 2x2 – 800 = 0
⇒ 2(x2 – 400) = 0
⇒ x2 – 400 = 0
यहाँ, a = 1, b = 0 and c = 400
हम जानते हैं कि यदि D > 0 हो तो द्विघात समीकरण के एक वास्तविक मूल होंगे।
हम जानते हैं कि, D = b2 – 4ac
⇒ D = 02 – 4 × 1 × 400
⇒ D = 1600
चूँकि यहाँ, D > 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल होंगे। अत: दिये गये स्थिति के अनुसार आम की बगिया बनाना संभव है।
अब मूल x = – b2 ± √D/2 × a
x = – (0)2 ± √ 1600/2 × 1
x = (± 40)2
x = ± 20
∴ x = 20 or – 20
चूँकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकता है, अत: ऋणात्मक मान को त्याग देने के बाद आम के बगिया की
लम्बाई = 40m तथा चौड़ाई = 20m उत्तर
प्रश्न संख्या ( 4) क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
दिया गया है, दो मित्रों की आयु का योग = 20 वर्ष
पुन: दिया गया है, चार वर्ष पूर्व दोनों मित्रों की आयु का गुणनफल = 48 वर्ष
मान लिया गया कि एक मित्र (A) की आयु = a year
अत: मित्र (A) की चार वर्ष पूर्व आयु = a – 4 वर्ष
∴ अत: दूसरे मित्र (B) की आयु = 20 – a year
और ∴ मित्र (B) की चार वर्ष पूर्व आयु = 20 – a – 4 = 16 – a वर्ष
अत: प्रश्न के अनुसार:
(a – 4)(16 – a) = 48
⇒ 16a – a2 – (16 × 4) + 4a = 48
⇒ 16a – a2 – 64 + 4a = 48
⇒ – a2 + 16a + 4a – 64 = 48
⇒ – a2 + 20a – 64 – 48 = 0
⇒ – a2 + 20a – 112 = 0
ऋणात्मक मान उभयनिष्ठ लेने पर
– (a 2 – 20a + 112) = 0
⇒ a2 – 20a + 112 = 0 – – – (i)
अब यह जानने के लिये कि द्विघात समीकरण (i) के मूल होंगे या नहीं, इसका D का मान ज्ञात करना होगा।
हम जानते हैं कि, D = b2 – 4ac
यहाँ द्विघात समीकरण (i) में a = 1, b = – 20 and c = 112
∴ D = (– 20)2 – 4 × 1 × 112
⇒ D = 400 – 448 = – 48
यहाँ चूँकि, D < 0, अत: इस द्विघात समीकरण के मूल संभव नहीं है।
अत: प्रश्न में दी गई स्थिति संभव नहीं है।
प्रश्न संख्या (5) क्या परिमाप 80\ m तथा क्षेत्रफल 400\ m2 के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, पार्क की परिमाप = 80m
तथा पर्क का क्षेत्रफल = 400m2
मान लिया गया कि पार्क की लम्बाई = l
तथा पार्क की चौड़ाई = b
हम जानते हैं कि एक आयत की परिमाप = 2(l + b)
∴ 80 m = 2(l + b)
⇒ l + b = 80/2
⇒ l + b = 40
⇒ l = 40 – b
हम जानते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल = l × b
∴ 400 = l × b
इसमें l = 40 – b रखने पर, हम पाते हैं कि
400 = (40 – b) × b
⇒ 40b – b2 = 400
⇒ – b2 + 40b – 400 = 0
ऋणात्मक मान उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि
–(b2 – 40b + 400) = 0
⇒ b2 – 40b + 400 = 0 – – (i)
अब यह पता लगाने के लिए द्विघात समीकरण (i) के मूल हैं या नहीं, हमें D का मान ज्ञात करना पड़ेगा
हम जानते हैं कि D = b2 – 4ac – – – (ii)
समीकरण (i) में
a = 1, b = – 40 तथा c = 400
a, b तथा c का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
D = (–40)2 – 4 × 1 × 400
⇒ D = 1600 – 1600 = 0
यहाँ चूँकि D = 0 है अत: (i) का मूल संभव है। अत: दिये गये स्थिति के अनुसार पार्क बनाना संभव है।
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण के मूल = – b ± √D/2a
∴ समीकरण (i) का मूल = – (– 40) ± √o/2 × 1
⇒ मूल = 40/2 = 20
अत: पार्क की चौड़ाई (b) = 20\ m
तथा पार्क की लम्बाई (l) = 40–b = 40 – 20 = 20m
चूँकि दिये गये पार्क की लम्बाई तथा चौड़ाई बराबर है, अत: पार्क वर्गाकार है। तथा पार्क की भुजा या किनारा = 20\ m उत्तर
Reference: