त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 9.1 के हल
प्रश्न :1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण `30^0` का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
हल:
यहाँ, `triangle\ BAC` एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
`/_ B = 90^0`
AC = कर्ण
AB = लम्ब
तथा, BC = आधार
यहाँ, `/_ BCA =30^0`
तथा, डोर की लम्बाई, AC = 20 m
अत: खंभे की ऊँचाई, AB = ?
हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`
जहाँ, `theta` भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण है, तथा `=30^0` है।
`h` = कर्ण = 20 m
तथा `p` = लम्ब = AB
`:. Sin\ 30^0 = (AB)/(AC)`
`=>1/2 = (AB)/(20\ m)`
क्रॉस गुणन करने पर
`=>2 AB = 20\ m`
`=> AB = (20\ m)/2`
`=>AB = 10\ m`
अत: खंभे की ऊँचाई `= 10\ m` उत्तर
प्रश्न : 2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा गुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ `30^0` का कोण बनाता है। पेड़ के पाद बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, `8\ m` है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, AD प्रश्न में दिया गया पेड़ है, जो कि आँधी से टूट कर महीन को C बिन्दु पर टूट कर जमीन को B बिन्दु पर छूता है तथा इसे CB के रूप में दर्शाया गया है।
दिया गया है, टूटे हुए पेड़ के शिखर तथा जमीन के बीच बना हुआ कोण, ` /_ABC = 30^0`
तथा पेड़ के टूटे हुए भाग की लम्बाई, CB = 20 \ m है।
यहाँ, `/_ A = 90^0`
अत:, CB = कर्ण (`h`)
AC = लम्ब (`p`)
तथा AB = आधार (`b`) `=8\ m`
तथा, `/_ ABC = 30^0`
अत: पेड़ की ऊँचाई, AD = ?
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=> tan\ 30^0 = p/(8\ m)`
`=>1/(sqrt 3) = p/(8\ m)`
क्रॉस गुणन करने पर
`=>sqrt3\ p =8\ m`
`:. p = 8/(sqrt3)`
अत:, AC = `p = 8/(sqrt3)`
पुन:, `cos\ theta = b/h`
`=> cos\ 30^0 = (8\ m)/h`
`=>(sqrt3)/2 = (8\ m)/h`
क्रॉस गुणा करने पर
`=> sqrt 3 \ h = 8xx 2 \ m`
`=>sqrt3 \ h = 16\ m`
`:. h = (16\ m)/sqrt 3`
अत:, BC = h = `(16\ m)/sqrt 3`
अब पेड़ की ऊँचाई = AC + CD
`=AC + CB`
[∵ CD = CB, जैसा कि प्रश्न के अनुसार यह पेड़ का टूटा हुआ भाग है।]
`=(8\ m)/(sqrt3) + (16\ m)/sqrt3`
`= (8+16)/(sqrt3)\ m`
`= 24/(sqrt3) m xx (sqrt3)/(sqrt3)\ m`
`=(24 sqrt3)/3\ m`
`= 8sqrt3\ m`
अत: पेड़ की ऊँचाई `8sqrt3\ m` है। उत्तर
प्रश्न : 3. एक ठेकेदार बच्चों के खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर `1.5\ m` की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ `30^0` के कोण पर झुका हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह `3\ m` की ऊँचाई पर एक अधिक ढ़ाल की फिसलनपट्टी लगाना चहती है, जो भूमि के साथ `60^0` का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:
मान लिया कि, ABC 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिये तथा DEF अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी है।
`triangle ABC` में
AB = फिसलनपट्टी की ऊँचाई `=p = 1.5\ m`
`/_ ABC = 30^0`
अत: `CB (h) =?`
हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`
`=>sin\ 30^0 = (1.5\ m)/h`
`=> 1/2 = (1.5\ m)/h`
क्रोस गुणा करने पर
`=>h = 1.5 \ m xx 2`
`=>h = 3\ m `
`=>CB = h = 3\ m`
अब `triangle DEF` में
DF = लम्ब (`p`) `= 3\ m`
`/_DEF = 30^0`
अत: EF = कर्ण (`h`) =?
हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`
`=>sin\ 60^0 = (3\ m)/h`
`=> (sqrt3)/2 = (3\ m)/h`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>sqrt3\ h = 3\ mxx2`
`=>sqrt3\ h = 6\ m`
`:. h = (6\ m)/(sqrt3)`
`=>h = (6\ m)/(sqrt3) xx (sqrt3)/(sqrt3)`
`=> h = (6sqrt3)/3\ m`
`=> h = 2sqrt3\ m`
`=>EF = h = 2sqrt3\ m`
अत: फिसलनपट्टी की लम्बाई 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए `=3\ m` तथा अधिक उम्र के बच्चों के लिए `= 2sqrt3\ m` है। उत्तर
प्रश्न : 4. भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण `30^0` है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि प्रश्न मे दिया गया मीनार AC है।
यहाँ, `/_A` समकोण है।
अत:, AC = लम्ब (p)
AB = आधार (`b`)
तथा CB कर्ण (`h`) हुआ।
यहाँ दिया गया है,
AB = `b` = 30\ m`
तथा उन्नयन कोण, `/_ABC = 30^0`
अत: AC = `p` =?
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = p/(30\ m)`
`=>1/sqrt3 = p/(30\ m)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt 3 \ p = 30\ m`
`:. p = (30\ m)/sqrt3`
`=>p = (30\ m)/sqrt3 xx (sqrt3)/(sqrt3)`
`=>p = (30 sqrt3)/3 m`
`=> p = 10 sqrt3\ m`
अत: मीनार की ऊँचाई `=10sqrt3\ m` है। उत्तर
प्रश्न : 5. भूमि से 60m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव `60^0` है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढ़ील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि F एक पतंग है तथा उसकी डोरी EF है।
अत: इस स्थिति में बना हुआ त्रिभुज DEF एक समकोण त्रिभुज है।
यहाँ, `/_ D =90^0`
अत: DF = लम्ब (`p`)
EF = कर्ण (`h`)
तथा, DE = आधार (`b`)
अब दिया गया है,
DE = पतंग की भूमि से ऊँचाई = कर्ण (`p`) = 60m
तथा भूमि के साथ डोरी का झुकाव `=/_ DEF = 60^0`
अत: डोरी की लम्बाई (EF) = कर्ण (`h`) =?
हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`
`=> sin\ 60^0 = (60\ m)/h`
`=>sqrt3/2 = (60\ m)/h`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3\ h = 2xx 60\ m`
`:. h = 120/ sqrt3\ m`
`=>h = 120/sqrt3 xx sqrt3/sqrt3\ m`
`=> h = 120 sqrt 3/3\ m`
`=> h = 40 sqrt3\ m`
अत: पतंग से बंघे डोरी की लम्बाई `=40sqrt3\ m` है। उत्तर
प्रश्न : (6) `1.5\ m` लम्बा एक लड़का `30\ m` ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण `30^0` से `60^0` हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
हल:
मान लिया कि AF एक लड़का है, जो बिन्दु A or F पर भवन BE से कुछ दूरी पर खड़ा है।
इस स्थिति में भवन के शिखर का उन्नयन कोण `30^0` है। मान लिया कि जब लड़का भवन की ओर चलकर बिन्दु G या D पर आता है तो उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण `60^0` हो जाता है।
अत: दिये गये स्थिति में त्रिभुज CAB बनता है।
अब `triangle CAB` में `/_C =90^0`
अत: AB = कर्ण (`h`)
तथा, AC = आधार (`b`)
तथा CB = लम्ब (`p`)
अब दिया गया है,
EB = भवन की ऊँचाई `=30\ m`
AF = लड़के की लम्बाई या ऊँचाई `=1.5\ m`
भवन की शिखर का उन्नयन कोण `CAB = 30^0`
तथा भवन की शिखर से दूसरा उन्नयन कोण `CDB =60^0`
अत: AD = ?
चूँकि `CE || AF` तथा CE = AF
तथा दिया गया है, AF = 1.5 m
अत: CE = 1.5 m
अब, BC = BE – EC
`=>BC = 30\ m – 1.5\ m = 28.5\ m`
`triangle CDB` में
हम जानते हैं कि `tan\ theta =p/b`
`=tan\ theta = (BC)/(CD)`
`=tan\ 60^0 = (28.5\ m)/(CD)`
`=> sqrt3 = (28.5\ m)/(CD)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3\ CD = 28.5\ m`
`:. CD = (28.5\ m)/sqrt3\ m`
अब `triangle CAB` में
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (CB)/(CA)`
`=>1/sqrt3 = (28.5\ m)/(CA)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`CA = 28.5 sqrt3\ m`
अब, AD = CA – CD
`=>AD = 28.5 sqrt3 – (28.5)/sqrt3\ m`
`=>AD = (28.5 sqrt3 sqrt3 – 28.5)/sqrt3\ m`
`=>AD = (28.5xx3-28.5)/sqrt3\ m`
`=>AD = (28.5(3-1))/sqrt3\ m`
`=>AD = (28.5xx2)/sqrt3\ m`
`=>AD = 57/sqrt3\ m`
`sqrt3//sqrt3` से गुणा करने पर
`=>AD = 57/sqrt3 xx sqrt3/sqrt3\ m`
`=>AD = (57sqrt3)/3\ m`
`=>AD = 19sqrt3\ m`
अत: प्रश्न में दिया गया लड़का भवन की ओर `19sqrt3\ m` चलकर गया है। उत्तर
प्रश्न : 7. भूमि के एक बिन्दु से एक 20m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: `45^0` तथा `60^0` हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि CD एक संचार मीनार है, जो कि भवन AD पर लगा है।
तथा मीनार के शिखर शिखर बिन्दु C का भूमि का उन्नयन कोण `60^0` तथा संचार मीनार के तल बिन्दु D भूमि का उन्नयन कोण `45^0` है।
अत: दिये गये स्थिति में दो त्रिभुज ABC तथा ABD बनते हैं जिसमें `/_ A` बराबर है `90^0` के। अत: दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
अत: प्रश्न के अनुसार
भवन की ऊँचाई, AD = 20 m
`/_ ABD = 45^0`
तथा `/_ABC = 60^0`
अत: संचार मीनार की ऊँचाई, DC =?
अब, `triangle ABD` में
`/_A =90^0`
अत: AD = लम्ब (`p`)
AB = आधार (`b`)
तथा, BD = कर्ण (`h`)
दिया गया है, `/_ABD = 45^0`
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 45^0 = (AD)/(AB)`
`=>1 = (20\ m)/(AB)`
[∵ `tan\ 45^0 =1`]
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`AB = 20\ m`
अब, `triangle ABC` में
AC = लम्ब (`p`) and
AB = आधार (`b`)
तथा दिया गया है , `/_ ABC = 60^0`
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (AC)/(AB)`
`=> sqrt3 = (AC)/20 \ m`
[∵ `AB = 20\ m` गणना के अनुसार]
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`AC = 20sqrt3`
`=> AD + DC = 20sqrt3`
[∵ AC = AD+DC]
`=> 20\ m + DC = 20sqrt3`
[∵ प्रश्न के अनुसार, AD = 20m]
`=>DC = 20sqrt3-20\ m`
`=>DC = 20(sqrt3-1)\ m`
`=>DC = 20(1.732 -1)\ m`
`=>DC = 20 xx 0.732 = 14.64\ m`
अत: दिये गये संचार मीनार की ऊँचाई, `20(sqrt3-)\ m or =14.64\ m` है। उत्तर
प्रश्न : 8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण `60^0` है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण `45^0` है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि पेडस्टल AD पर मूर्ति CD लगी है।
मूर्ति के शिखर से भूमि के एक बिन्दु का उन्नयन कोण ABC `=60^0` है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण ABD `=45^0` है।
अत: पेडस्टल की ऊँचाई, AD =?
दिये गये स्थिति में दो त्रिभुज ABD तथा ABC बनते हैं।
दिया गया है, मूर्ति की ऊँचाई, CD = 1.6 m
`/_ ABD = 45^0`
तथा`/_ ABC = 60^0`
अत: पेडस्टल की ऊँचाई, AD =?
अब, `triangle ABD` में
`/_DAB = 90^0`
AB = आधार (`b`)
AD = लम्ब (`p`)
तथा DB = कर्ण (`h`)
अब, हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`:. tan \ 45^0 = (AD)/(AB)`
`=>1 = (AD)/(AB)`
क्रॉस गुणा करने पर
`=> AB = AD`
अब, `triangle ABC` में
AC = लम्ब (`p`)
AB = आधार (`b`)
CD = 1.6 m
तथा `/_ABC =60^0`
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=> tan 60^0 = (AC)/(AB)`
`=>sqrt3 = (AC)/(AB)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 AB = AC`
`=> sqrt3 AD = AC`
[∵ AB = AD]
`=> sqrt3\ AD= AD + CD`
[∵ AC = AD + CD]
`=> sqrt3\ AD = AD + 1.6\ m`
[∵ given `CD = 1.6\ m`]
`=>sqrt3\ AD – AD = 1.6\ m`
`=>AD (sqrt3-1) = 1.6\ m`
`:. AD = (1.6\ m)/(sqrt3-1)`
`=>AD = (1.6\ m)/(sqrt3-1)xx(sqrt3+1)/sqrt3+1)`
`=>AD = (1.6 (sqrt3+1))/((sqrt3)^2-1^2)\ m`
`=>AD = (1.6(sqrt3+1))/(3-1)\ m`
`=>AD = (1.6(sqrt3+1))/2\ m`
`=>AD = 0.8 (sqrt3+1)\ m`
अत: पेडस्टल की ऊँचाई `=0.8(sqrt3+1)\ m` उत्तर
Reference: