त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 9.1 के हल Q: 9-16
प्रश्न : 9. एक मीनार के पाद बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण `30^0` है और भवन के पाद बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण `60^0` है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, दिया गया भवन AD है तथा दिया गया मीनार BC है।
मीनार के पाद बिन्दु B से भवन के शिखर बिन्दु D का उन्नयन कोण `=30^0` है।
तथा मीनार के शिखर बिन्दु C से भवन के पाद बिन्दु A का उन्नयन कोण `=60^0` है।
अब दिया गया है,
मीनार की ऊँचाई, BC = 50 m
तथा कोण ABD `=30^0`
तथा कोण BAC `=60^0`
अत: भवन की ऊँचाई, AD =?
अब, `triangle ABC` में
CB = लम्ब (`p`)
तथा AB = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=> tan\ 60^0 = (CB)/(AB)`
`=> sqrt3 = (CB)/(AB)`
क्रॉस गुणन करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 AB = CB`
`=>AB = 50/sqrt3\ m`
[∵ CB = 50 m]
अब, `triangle ABD` में
AB = आधार (`b`)
तथा AD = लम्ब (`p`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (AD)/(AB)`
`=> 1/sqrt3 = (AD)/(AB)`
क्रॉस गुणन से हम पाते हैं कि
`AB = sqrt3 AD`
`=>sqrt3 AD = AB`
`=>sqrt3 AD = 50/sqrt3\ m`
`:. AD = 50/sqrt3//sqrt3\ m`
`=>AD = 50/(sqrt3xxsqrt3)\ m`
`=>AD = 50/3\ m`
`=> AD = 16\2/3\ m`
अत: भवन की ऊँचाई `=16\2/3\ m` उत्तर
प्रश्न : 10. एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने सामने समान लम्बाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: `60^0` तथा `30^0` है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, AD तथा BC दो खंभे सड़्क AB के आमने सामने हैं।
मान लिया कि सड़क के बीच एक बिन्दु O से एक खंभे AD के शिखर बिन्दु का उन्नयन कोण `=30^0` तथा दूसरे खंभे BC के शिखर बिन्दु का उन्नयन कोण `=60^0` है।
दिया गया है,
सड़क की चौड़ाई, AB = 80 m
खंभे AD की ऊँचाई = खंभे BC की ऊँचाई
i.e. AD = BC
अत:, AD = BC =?
तथा, AO =? And OB =?
अब, `triangle AOD` में
`/_ AOD =30^0`
AD = लम्ब (`p`)
तथा, AO = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (AD)/(AO)`
`=>1/sqrt3 = (AD)/(AO)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`AO = sqrt3 AD` -------------(i)
अब, `triangle OBC` में
`/_ BOD = 60^0`
BC = लम्ब (`p`)
तथा OB = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (BC)/(OB)`
`=>sqrt3 = (BC)/(OB)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 OB = BC`
`=>sqrt3 OB = AD`
[∵ AD = OB]
`=>OB = (AD)/sqrt3` ----------(ii)
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि
`AO + OB = sqrt3 AD + (AD)/sqrt3`
`=>80\ m = (sqrt3xxsqrt3\ AD + AD)/sqrt3`
[∵ AO + OB = 80 m. प्रश्न के अनुसार]
`=>80\ m = (3AD+AD)/sqrt3`
`=>80\ m = (4AD)/sqrt3`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`80sqrt3\ m = 4AD`
`=> AD = (80sqrt3)/4\ m`
`=>AD = 20sqrt3\ m`
अब AD का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 xx 20sqrt3 \ m= AO`
`=>AO = 3xx20\ m`
`=>AO = 60\ m`
अब चूँकि, AO + OB = 80m
`:. 60\ m + OB = 80\ m`
`:. OB = 80\ m – 60\ m = 20\ m`
अत: खंभे की ऊँचाई `=20sqrt3\ m` तथा दोनों खंभों के बीच दूरी क्रमश: `60\ m` तथा `20\ m` हैं। उत्तर
प्रश्न : 11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टावर उर्ध्वाधरत: खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण `60^0` है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा प्र स्थित एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण `30^0` है। (देखिए आकृति)। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञाता कीजिए।
हल:
दिया गया है, DC = 20 m
`/_ ADB = 30^0`
तथा, `/_ACB = 60^0`
अत:, AB =? And CB = ?
`triangle ACB` में
AB = लम्ब (`p`)
तथा CB = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (AB)/(CB)`
`=>sqrt3 = (AB)/(CB)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 CB = AB`
`=>CB = (AB)/sqrt3` ---------(i)
अब, `triangle ADB` में
AB = लम्ब (`p`)
तथा, DB = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (AB)/(DB)`
`=>1/sqrt3 = (AB)/(DB)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`DB = sqrt3\ AB`
`=>20\ m + CB = sqrt3\ AB`
[∵ DB = 20 m + CB]
CB का मान समीकरण (i) से रखने पर हम पाते हैं कि
`20\ m + (AB)/sqrt3 = sqrt3\ AB`
`=>20\ m = sqrt3\ AB – (AB)/sqrt3`
`=>20\ m = (sqrt3xxsqrt3 xx AB – AB)/sqrt3`
`=>20\ m = (3AB – AB)/sqrt3`
`=>(2AB)/sqrt3 = 20\ m`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`=>2AB = 20sqrt3\ m`
`:. AB = (20sqrt3)/2\ m`
`=>AB = 10sqrt3\ m` --------(ii)
अब समीकरण (ii) से AB का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`CB = (10sqrt3)/sqrt3\ m`
`=>CB = 10\ m`
अत: मीनार की ऊँचाई `20sqrt3\ m` तथा नहर की चौड़ाई `10\ m` है। उत्तर
प्रश्न : (12) 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण `60^0` है और इसके पाद का अवनमन कोण `45^0` है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, AE एक भवन तथा BD केबल टावर है।
जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, भवन की ऊँचाई, AE = 7 m
तथा भवन के शिखर से टावर के शिखर का उन्नयन कोण, `/_DEC = 60^0`
और भवन के शिखर से टावर के पाद का अवनमन कोण, `/_CEB =45^0`
चूँकि `AB||EC` अत: `/_BEC = /_ABE = 45^0`
अत: केबल टावर की ऊँचाई, BD =?
अब, AE = BC = 7m
तथा, AB = EC
`triangle ABE` में
AE = लम्ब (`p`) = 7 m
तथा AB = आधार (`b`)
तथा `/_BCA =45^0`
हम जानते हैं कि `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 45^0 =(AB)/(BC)`
`=>1 = (7\ m)/(BC)`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>BC = 7\ m` -----------(i)
अब, `triangle ADE` में
AD = BC = 7 m (समीकरण (i) से)
ED = लम्ब (`p`)
AD = आधार (`b`)
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (ED)/(AD)`
`=>sqrt3 = (ED)/7\ m`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`ED = 7sqrt3` -----------(ii)
अब, CE = टावर की ऊँचाई = ED + CD
`= 7sqrt3\ m + 7\ m`
[∵ CD = AB = 7m]
`=>CE =7(sqrt3+1)\ m`
अत: दिये गये टावर की ऊँचाई `=7(sqrt3+1)\ m` उत्तर
प्रश्न : 13. समुद्र तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण `30^0` और `45^0` हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, AD लाईट हाउस तथा B और C दो जहाज हैं।
दिया गया है, लाइट हाउस की ऊँचाई, AD = 75 m
अब लाइट हाउस के शिखर से जहाज C का अवनमन कोण `/_ CDE = 30^0`
अत:, `/_ACD = 30^0`
पुन: दिया गया है, लाइट हाउस के शिखर से जहाज B का अवनमन कोण, `/_BDE = 45^0`
अत: `/_ABD = 45^0`
अत; दोनों जहाजों के बीच की दूरी = BC =?
`triangle ABD` में
AD = लम्ब (`p`)
तथा AB = आधार (`b`)
तथा `/_ ABD = 45^0`
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 45^0 = (AD)/(AB)`
`=>1 = (75\ m)/(AB)`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>AB = 75\ m` ----------(i)
अब, `triangle ACD` में
AD = लम्ब (`p`)
AC = आधार (`b`)
तथा, `/_ACD =30^0`
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (AD)/(AC)`
`=>1/sqrt3 = (75\ m)/AC`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>AC = 75sqrt3\ m`
`=>AB + BC = 75sqrt3\ m`
[∵ AC = AB + BC]
समीकरण (i) से AB का मान रखने पर हम पाते हैं कि
`75\ m + BC = 75sqrt3\ m`
`=>BC = 75sqrt3\ m -75 \ m`
`=>BC = 75(sqrt3-1)\ m`
अत: दोनों जहाजों के बीच दूरी `=75(sqrt3-1)\ m` उत्तर
प्रश्न : (14) 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिअ रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण `60^0` है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर `30^0` हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है कि, गुब्बारे की भूमि से ऊँचाई, BM = FN = 88.2 m
लड़की की लम्बाई, AC = BD = 1.2 m
अत: EN = DM = BM – AC = 88.2 – 1.2 = 87\ m
`/_DCM = 30^0`
तथा, `/_ECN = 60^0`
अत: गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी, ED = FB =?
अब, `triangle ECN` में
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (EN)/(CE)`
`=>sqrt3 = (87\ m)/(CE)`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>CE sqrt3 = 87\ m`
`=>CE = (87\ m)/sqrt3` ---------(i)
अब, `triangle CDM` में
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (DM)/(CD)`
`=>1/sqrt3 = (87\ m)/(CD)`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>CD = 87sqrt3\ m`
`=>CE + ED = 87sqrt3\ m`
[∵ CD = CE + ED]
CE का मान समीकरण (i) से रखने पर
`=>(87\ m)/sqrt3 + ED = 87sqrt3\ m`
`=>ED = 87sqrt3 – (87\ m)/sqrt3`
`=>ED = (87sqrt3xxsqrt3 – 87)/sqrt3\ m`
`=>ED = (87xx3 – 87)/sqrt3\ m`
`=>ED = (87(3-1))/sqrt3\ m`
`=>ED = (87xx2)/sqrt3\ m`
`=>ED = 174/sqrt3\ m`
`=>ED = 174/sqrt3 xxsqrt3/sqrt3\ m`
`=>ED = (174sqrt3)/3\ m`
`=>ED = 58sqrt3\ m`
अत: गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी बराबर `58sqrt3\ m` उत्तर
प्रश्न : 15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को `30^0` के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छ: सेकेंड बाद कार का अवनमन कोण `60^0` हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि AB एक मीनार है जिसके शिखर पर खड़ा एक आदमी कार को D बिन्दु पर देखता है जिसका अवनमन कोण `=30^0`
तथा जब कार बिन्दु C पर पहुँचता है तो उसका अवनमन कोण `60^0` हो जाता है।
दिया गया है, कार को बिन्दु D से बिन्दु C पर पहुँचने में लगा समय = 6 सेकेंड
अत: कार को बिन्दु C से मीनार के पाद बिन्दु B तक पहुँचने में लगा समय = ?
प्रश्न में दिये गये स्थिति के अनुसार बने हुए आकृति से
`/_ADB = 30^0`
तथा `/_ACB = 60^0`
अब, `triangle ABC` में
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 60^0 = (AB)/(BC)`
`=>sqrt3 = (AB)/(BC)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`AB = sqrt3\ BC` ---------(i)
अब, `triangle ABD` में
हम जानते हैं कि, `tan\ theta = p/b`
`=>tan\ 30^0 = (AB)/(BD)`
`=>1/sqrt3 = (AB)/(BD)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`BD = sqrt3 AB`
`=>AB = (BD)/sqrt3` ----------(ii)
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) से
`sqrt3\ BC = (BD)/sqrt3`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`sqrt3 xx sqrt3xx BC = BD`
`=>3BC = BD`
`=>3BC = BC+CD`
[∵ BD = BC + CD]
`=>CD = 3BC – BC`
`=>CD = 2BC`
`=>BC = 1/2 CD`
∵ कार द्वारा दूरी CD को तय करने में लगा समय `=6` सेकेंड
∴ कार द्वारा दूरी `1` तय करने में लगा समय `=6/(CD)` सेकेंड
∴ कार द्वारा `1/2CD` दूरी तय करने में लगने वाला समय `=6/(CD)xx1/2CD` सेकेंड
`= 3` सेकेंड
अत: कार को दिये गये बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में लगा समय बराबर `6` सेकेंड है। उत्तर
प्रश्न : 16. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल:
मान लिया कि DC दिया गया मीनार है।
तथा A और B मीनार के आधार से सरल रेखा में दो बिन्दु हैं।
दिया गया है, `/_DAC` और `/_DBC` पूरक कोण हैं।
मान लिया कि, `/_DAC = A`
अत: `/_DBC = 90^0-A`
पुन: दिया गया है, DA = 4 m
तथा DB = 9 m
अत: सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई = 6m
`triangle DAC` में
DA = 4 m = आधार (`b`)
तथा DC = लम्ब (`p`)
तथा, `/_DAC = A`
हम जानते हैं कि, `tan\ A = p/b`
`=>tan\ A = (CD)/(DA)`
`=>tan\ A = (CD)/(4\ m)` --------(i)
अब, `triangle DBC` में
DB = आधार (`b`) `= 9\ m`
तथा, `/_DBC = 90^0-A`
तथा CD = लम्ब (`p`)
हम जानते हैं कि, `tan\ A = p/b`
`=>tan (90^0-A) = (CD)/(DB)`
`=>cot\ A = (CD)/(9\ m)` ----------(ii)
[∵ `tan(90^0-A)=cot\ A)`]
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`tan\ A xxcot\ A = (CD)/(4\ m) xx (CD)/(9\ m)`
`=>tan\ A xx 1/(tan\ A) = (CDxxCD)/(4\ mxx 9\ m)`
`=>1 = ((CD)^2)/(36\ m^2)`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`(CD)^2 = 36\ m^2`
`=>CD = sqrt(36\ m^2)`
`=>CD = 6 m` = मीनार की ऊँचाई
अत: मीनार की ऊँचाई = 6 m सिद्ध
Reference: