पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 13.2
जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।
प्रश्न (1) एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, शंकु की त्रिज्या, r = 1 cm
शंकु की ऊँचाई = 1 cm
अर्धगोले की त्रिज्या, r = 1 cm
ठोस का आयतन = ?
शंकु का आयतन = 1/3 π r2 h
= 1/3 π (1 cm)2 × 1 cm
= 1/3 π cm3
अर्धगोले का आयतन = 2/3 π r3
= 2/3 π (1 cm)3
= 2/3 π cm3
अत: ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= 1/3 π cm3 + 2/3 π cm3
= π ( 1/3 + 2/3 ) cm3
= π 1 + 2/3 cm3
= π 3/3 cm3
= π cm3
अत: दिये गये गोले का आयतन = π cm3 उत्तर
प्रश्न (2) एक इंजिनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)
हल:
दिया गया है, मॉडल की लम्बाई =12 cm
शंकु की ऊँचाई = 2 cm
बेलनाकार का व्यास =3 cm
अत: बेलन की त्रिज्या =1.5 cm
तथा शंकु की त्रिज्या = 1.5 cm
अत: मॉडल में अंतर्विष्ट हवा की मात्रा =?
यहाँ मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन = मॉडल का आयतन
बेलन की ऊँचाई = मॉडल की कुल ऊँचाई – 2 × शंकु की ऊँचाई
= 12 cm – 2 × 2 cm
= (12 – 4) cm
∴ शंकु को छोड़कर बेलन की ऊँचाई या लम्बाई = 8 cm
अब बेलन का आयतन = π r2 h
= π × (1.5 cm)2 × 8 cm
= π × 2.25 cm2 × 8 cm
= 18 π cm3
शंकु का आयतन = 1/3 π r2 h
= 1/3 π × (1.5 cm)2 × 2 cm
= 1/3 π × 2.25 cm2 × 2 cm
= 1/3 π 4.5 cm3
= 1.5 π cm3
∴ दो शंकु का आयतन = 2 × 1.5 π cm3
= 3 π cm3
अब मॉडल का आयतन = बेलन का आयतन + दो (2) शंकु का आयतन
= 18 π cm3 + 3 π cm3
= π (18+3) cm3
= 22/7 × 21 cm3
= 22 × 3 cm3
= 66 cm3
अत: मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन = 66 cm3 उत्तर
प्रश्न (3) एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm तथा व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति)
हल:
दिया गया है, गुलाबजामुन की लम्बाई = 5 cm
गुलाबजामुन का व्यास = 2.8 cm
अत: गुलाबजामुन की त्रिज्या = 2.8/2 = 1.4 cm
गुलाबजामुन के अर्धगोलाकार सिरे की त्रिज्या =1.4 cm
चूँकि गुलाबजामुन के दो अर्धगोलाकार सिरे हैं, अत: दो अर्धगोले की लम्बाई अर्थात एक गोले का व्यास =2.8 cm
अत: गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग की लम्बाई = गुलाबजामुन की कुल लम्बाई – सिरे के दो अर्धगोले की लम्बाई
= 5 cm – 2.8 cm
अत: गुलाबजामुन के दोनों अर्धगोलाकार सिरों को छोड़कर बेलनाकार भाग की लम्बाई =2.2 cm
प्रश्नानुसार, गुलाबजामुन की त्रिज्या, r = 1.4 cm
गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग का आयतन = π r2 h
=π × (1.4 cm)2 × 2.2 cm
=π × 1.96 cm2 × 2.2 cm
या, गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग का आयतन = 4.312 π cm3
अर्धगोले का आयतन = 2/3 π r3
= 2/3 π (1.4 cm)3
= π 2/3 × 2.744 cm3
= π 1.83 cm3
या, अर्धगोले का आयतन = π 1.83 cm3
अत: दो अर्धगोले का आयतन = 2 × π 1.83 cm3 = 3.659 π cm3
अब एक गुलाबजामुन का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + दोनों अर्धगोले का आयतन
= 4.312 π cm3 + 3.659 cm3
=π (4.312 + 3.659) cm3
=22/7 × 7.971 cm3
एक गुलाबजामुन का आयतन = 25.05 cm3
अत: एक गुलाबजामुन में चीनी के चाशनी की मात्रा (आयतन) = 30% × 25.05 cm3
[∵ प्रश्नानुसार एक गुलाबजामुन में चीनी के चाशनी की मात्रा 30% है।]
= 30/100 × 25.05 cm3
या, एक गुलाबजामुन में चीनी के चाशनी की मात्रा (आयतन) = 7.515 cm3
अत: 45 गुलाबजामुन में चीनी के चाशनी की मात्रा (आयतन) = 45 × 7.515 cm3
= 338.175 cm2 ≈ 338 cm3
अत: 45 गुलाबजामुन में चीनी के चाशनी की मात्रा (आयतन) ≈ 338 cm3 उत्तर
प्रश्न (4) एक कलमदार घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढ़े बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढ़े की त्रिज्या 0.5 cm और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)
हल:
दिया गया है, घनाभ की लम्बाई (ℓ), चौड़ाई (b) तथा गहराई (h) क्रमश: 15 cm, 10 cm तथा 3.5 cm
कलमदार घनाभ में शंक्वाकार गड्ढों की संख्या = 4
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढ़े की त्रिज्या, r = 0.5 cm
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढ़े की गहराई, h = 1.4 cm
अत: कलमदान घनाभ में लकड़ी का आयतन = ?
पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = कलमदान घनाभ का आयतन – चार शंक्वाकार गड्ढ़े का आयतन
अब पूरे घनाभ का आयतन = ℓ × b × h
= 15 cm × 10 cm × 3.5 cm
या, कलमदान घनाभ का आयतन = 525 cm3
अब शंकु का आयतन = 1/3 π r2h
∴ एक शंक्वाकार गड्ढ़े का आयतन = 1/3 π (0.5 cm)2 × 1.4 cm
= 1/3 × 22/7 × 0.25 cm2 × 1.4 cm
= 1/3 × 22 × 0.25 × 0.2 cm3
या, एक शंक्वाकार गड्ढ़े का आयतन = 0.156 cm3
∴ चार (4) शंक्वाकार गड्ढ़ों का आयतन = 4 × 0.156 cm3
= 0.624 cm3
पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = कलमदान घनाभ का आयतन – चार शंक्वाकार गड्ढ़े का आयतन
= 525 – 0.624 = 524.376 cm3
≈ 524 cm3
पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ≈ 524 cm3 उत्तर
प्रश्न (5) एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके उपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती है, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्यां ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई = 8 cm
शंकु की त्रिज्या = 5 cm
सीसे की गोली की त्रिज्या = 0.5 cm
जब सीसे की गोलियाँ बर्तन में डाली जाती है, तो पानी का 1/4 भाग बर्तन से बाहर गिर जाता है।
अत: 1/4 भाग पानी का आयतन =?
शंकु का आयतन = 1/3 π r2 h
∴ अत: शंकु के आकार के बर्तन में पानी का आयतन = 1/3 π (5 cm)2 × 8 cm
= 1/3 × π × 25 cm2 × 8 cm
= 200/3 π cm3
अत: 1/4 भाग पानी का आयतन = 1/4 × 200/3 π cm3
= 50/3 π cm3
∴ 1/4 भाग पानी का आयतन = 50/3 π cm3
अब गोली का आयतन = 4/3 π r3
अत: सीसे की एक गोली का आयतन = 4/3 × π × (0.5 cm)3
= 4/3 π 0.125 cm3= 0.5/3 π cm3
या, सीसे की एक गोली का आयतन = 0.5/3 π cm3
अत: सीसे की गोलियों की संख्यां = 1/4 भाग पानी का आयतन /सीसे की एक गोली का आयतन
= 50/3 π cm3 ÷ 0.5/3 π cm3
= 50 π/3 × 3/0.5 π = 100
अत: सीसे की गोलियों की संख्यां = 100 उत्तर
प्रश्न (6) ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि 1 cm3 लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है। ( π =3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है, निचले बेलनाकार स्तंभ की ऊँचाई, h = 220 cm
निचले बेलनाकार स्तंभ का व्यास = 24 cm
∴ निचले बेलनाकार स्तंभ की त्रिज्या, r = 24/2 = 12 cm
बेलनाकार स्तंभ के उपरी भाग की ऊँचाई h = 60 cm
बेलनाकार स्तंभ के उपरी भाग की त्रिज्या r = 8 cm
1 cm3 लोहे का द्रव्यमान = 8 g
पूरे स्तंभ में लोहे का द्रव्यमान = ?
बेलन का आयतन = π r2 h
अत: पूरे स्तंभ का आयतन = निचले स्तंभ का आयतन + उपर वाले स्तंभ का आयतन
= π × (12 cm)2 × 220 cm + π × (8 cm)2 × 60 cm
= π(144 cm2 × 220 cm + 64 cm2 × 60 cm)
= π (31680 cm3 + 3840 cm3)
= 35520 π cm3
अत: पूरे स्तंभ का आयतन = 35520 π cm3
∵ 1 cm3 लोहे के स्तंभ का द्रव्यमान = 8 g
∴ 35520 π cm3 लोहे के स्तंभ का द्रव्यमान = 35520 π × 8 g
= 35520 × 3.14 × 8 g
[∵ दिया गया है, π = 3.14]
= 892262.4 g
= 892.2624 kg ≈ 892.26 kg
अत: लोहे के स्तंभ का लगभग द्रव्यमान = 892.26 kg उत्तर
प्रश्न (7) एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, शंकु की ऊँचाई = 120 cm
अर्धगोले की त्रिज्या = 60 cm
लंब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई = 180 cm
वृत्तीय बेलन की त्रिज्या = 60 cm
दिये गये ठोस को पानी से भरे वृत्तीय बेलन में डालने पर बेलन में बचे हुए पानी का आयतन =?
बेलन का आयतन = π r2 h
= π (60 cm)2 × 180 cm
= π × 3600 cm2 × 180 cm
या, बेलन का आयतन = π 648000 cm3
∴ बेलन में कुल पानी का आयतन = π 648000 cm3
शंकु का आयतन = 1/3 π r2h
= 1/3 π (60 cm)2 × 120 cm
= 1/3 π × 3600 1200 cm2 × 120 cm
= π × 1200 cm2 × 120 cm
या, शंकु का आयतन = π × 144000 cm3
अर्धगोले का आयतन = 2/3 π r3
= 2/3 π (60 cm)3
= 2/3 π × 216000 72000 cm3
= 2 × 72000 π cm3
या, अर्धगोले का आयतन = 144000 π cm3
अत: अर्धगोले तथा शंकु से बने ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= 144000 π cm3 + 144000 π cm3
या, अर्धगोले तथा शंकु से बने ठोस का आयतन = 288000 π cm3
दिये गये ठोस को बेलन में डालने पर बेलन में बचे पानी का आयतन = बेलन के पानी का कुल आयतन – अर्धगोले तथा शंकु से बने ठोस का आयतन
= π 648000 cm3 – 288000 π cm3
= 360000 × 22/7 cm3
= 1131428.571 cm3
≈ 1.131 m3
अत: बेलन में बचे पानी का आयतन ≈ 1131428 cm3 or ≈ 1.13 m3 Answer
प्रश्न (8) एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm3 है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14 ।
हल:
दिया गया है, बर्तन के गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm
अत: बर्तन के गोलाकार भाग की त्रिज्या = 8.5/2 = 4.25 cm
बर्तन के बेलनाकार गर्दन की ऊँचाई = 8 cm
बर्तन के बेलनाकार गर्दन का व्यास = 2 cm
∴ बर्तन के बेलनाकार गर्दन की त्रिज्या = 2/2 = 1 cm
अत: बर्तन का आयतन = ?
यहाँ बर्तन का आयतन = बर्तन में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन
अब बेलन का आयतन = π r2 h
∴ बर्तन के बेलनाकार गर्दन का आयतन = π (1 cm)2 × 8 cm
= π × 1 cm2 × 8 cm
या, बर्तन के बेलनाकार गर्दन का आयतन = 8 π cm3
अब गोले का आयतन = 4/3 π r3
अत: बर्तन के गोलाकार भाग का आयतन = 4/3 π (4.25 cm)3
= 4/3 × 76.77 π cm3
बर्तन के गोलाकार भाग का आयतन = 102.354 π cm3
बर्तन का आयतन = बर्तन के बेलनाकार गर्दन का आयतन + बर्तन के गोलाकार भाग का आयतन
= 8 π cm3 + 102.354 π cm3
= π (8 + 102.354) cm3
= 3.14 × 110.354 cm3
= 346.51 cm3
अत: बर्तन में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन = 346.51 cm3
अत: बच्चे द्वारा ज्ञात किया गया आयतन सही नहीं है। बर्तन का सही आयतन 346.51 cm3 है। उत्तर
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