पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
दसवीं गणित
आरडी शर्मा प्रश्नावली 16.1 प्रश्न 1 से 5 का हल
प्रश्न संख्या (1) एक 8 cm त्रिज्या वाले ठोस गोले से 1 cm त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती है?
हल:
दिया गया है, ठोस गोले की त्रिज्या = 8 cm
तथा गोली की त्रिज्या = 1 cm
अत: दिये गये ठोस गोले से बनाये जा सकने वाले गोलियों की संख्या = ?
[आरडी शर्मा गणित क्लास दशम प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या (1) को हल करने की योजना: (1) सबसे गोले का आयतन निकालें। (2) उसके बाद ठोस गोले से बनाये जाने वाली एक गोली का आयतन निकालें। (3) बड़े गोले के आयतन में छोटी गोली के आयतन से भाग देने पर प्राप्त भागफल छोटी गोली की संख्या होगी।]
हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 π r3
अत: दिये गये गोले का आयतन = 4/3 π (8 cm)3
= 4/3 π 512 cm3
अत: दिये गये गोले का आयतन = 4/3 π 512 cm3
बनाये जाने वाली गोली का आयतन = 4/3 π r3
= 4/3 π × 1 cm3
अत: बनाये जाने वाली एक गोली का आयतन = 4/3 π 1 cm3
अब दिये गये बड़े ठोस गोले से बनायी जाने वाली छोटी गोलियों की संख्या
= बड़े ठोस गोले का आयतन /एक छोटी गोली का आयतन
= 4/3 π 512 cm3/4/3 π 1 cm3
= 512
अत: दिये गये ठोस गोले से बनाये जाने वाली गोलियों की संख्यां = 512 उत्तर
प्रश्न संख्या (2) 11 dm × 1 m × 5 dm आकार वाले धातु के एक आयताकार टुकड़े से 5 cm ब्यास वाली कितनी ठोस गोलियाँ बनाई जा सकती हैं ?
हल:
[आरडी शर्मा गणित क्लास दशम प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या (2) को हल करने की योजना: (1) धातु के दिये गये आयताकार टुकड़े का आयतन निकालें। (2) बनाये जाने वाली एक ठोस गोली का आयतन निकालें। (3) धातु के आयताकार टुकडे के आयतन में एक गोली के आयतन से भाग देने पर प्राप्त भाग फल बनाये जाने वाली गोलियों की संख्या होगी।]
दिया गया है, धातु के आयताकार टुकड़े का आकार = 11 dm × 1 m × 5 dm
= (11 × 10 cm) × (1 × 100 cm) × (5 × 10 cm)
= 110 cm × 100 cm × 50 cm
हम जानते हैं किसी ठोस आयताकर टुकड़े का आयतन = लम्बाई × ऊँचाई × चौड़ाई
अत: दिये गये ठोस आयताकार टुकड़े का आयतन = 110 cm × 100 cm × 50 cm
अत: दिये गये ठोस आयताकार टुकड़े का आयतन = 550000 cm3
पुन: प्रश्न में दिया गया है, बनाये जाने वाली ठोस गोली का ब्यास = 5 cm
अत: गोली की त्रिज्या = 5/2 = 2.5 cm
हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 π r3
अत: दिये गये एक गोली का आयतन = 4/3 × 22/7 × (2.5 cm)3
= 88/21 × 15.625 cm3
= 65.476 cm3
अत: दिये गये एक गोली का आयतन = 65.476 cm3
अब धातु के दिये गये आयताकर ब्लॉक से बनाये जाने वाली गोलियों की संख्या = आयताकर ब्लॉक का आयतन / एक गोली का आयतन
= 550000 cm3/65.476 cm3
= 8400.02
= 8400 गोलियां (लगभग)
अत: दिये गये धातु के आयताकार टुकड़े से बनाये जाने वाली गोलियों की संख्या = 8400 उत्तर
प्रश्न संख्या (3) एक ठोस गोला जिसकी त्रिज्या 3 cm है को पिघला कर तीन छोटी गोलियाँ बनाई जाती हैं। यदि उनमें से दो गोलियों की त्रिज्या क्रमश: 1.5 cm और 2 cm हैं, तो तीसरे गोली का ब्यास क्या होगा?
हल:
[आरडी शर्मा गणित क्लास दशम प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या (3) को हल करने की योजना: (1) दिये गये बड़े गोले का आयतन ज्ञात करें। (2) दोनों गोलियाँ जिनकी त्रिज्याएँ दी गई हैं का आयतन निकालें। (3) अब बड़े वाले गोले के आयतन में से दोनों छोटी गोलियों के आयतन को घटाने से तीसरे गोली का आयतन ज्ञात हो जायेगा। (4) इस आयतन का उपयोग कर तीसरी गोली का ब्यास निकालें]
दिया गया है, ठोस गोले की त्रिज्या = 3 cm
पिघला कर तैयार की गई तीन गोलियों में से गोलियों की क्रमश: त्रिज्या = 1.5 cm और 2 cm
अत: तीसरे गोली का ब्यास = ?
हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 π r3
अत: दिये गये गोले का आयतन = 4/3 π 3 cm3
= 4/3 π 27 cm3
अब बड़े गोले को पिघला कर बनाए गयी पहली गोली (1) का आयतन = 4/3 π (1.5 cm)3
तथा दूसरी गोली का आयतन (2) = 4/3 π (2 cm)3
अब दो गोली का कुल आयतन,
अर्थात गोली (1) का आयतन + गोली (2) का आयतन = 4/3 π (1.5 cm)3 + 4/3 π (2 cm)3
= 4/3 π (3.375 cm3 + 8 cm3)
= 4/3 π × 11.375 cm3
अब तीसरी गोली का आयतन = बड़े वाले गोले का आयतन – दिये गये दोनों छोटी गोली का आयतन
= 4/3 π (27 – 11.375) cm3
या, तीसरी गोली का आयतन = 4/3 π × 15.625 cm3
हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 π r3
⇒ 4/3 π × 15.625 cm3 = 4/3 π r3
⇒ r3 = 4/3 π × 15.625 cm3/4/3 π
⇒ r3 = 15.625 cm3
⇒ r = ∛15.625 cm3
⇒ r = 2.5 cm
अत: तीसरी गोली की त्रिज्या = 2.5 cm
हम जानते हैं कि ब्यास = त्रिज्या × 2
अत: तीसरी गोली का ब्यास = 2.5 cm × 2 = 5 cm
अत: बनाई गई तीसरी गोली का ब्यास = 5 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (4) 2.2 घन डेसीमीटर ब्रास से 0.25 cm व्यास वाली बेलनाकर तार बनाई जाती है। बनाई गई इस बेलनाकार तार की लम्बाई ज्ञात करें।
हल:
[आरडी शर्मा गणित क्लास दशम प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या (4) को हल करने की योजना: (1) ब्रास का आयतन दिया गया है। (2) ब्रास का आयतन बनाये गये बेलनाकार तार के आयतन के बराबर होगा। (3) तार के आयतन तथा दिये गये व्यास का उपयोग कर तार की लम्बाई निकालें]
दिया गया है, ब्रास का आयतन = 2.2 घन डेसीमीटर
= 2.2 dm3
= 2.2 ×10 × 10 × 10× cm3
= 2200 cm3
चूँकि दिये गये ब्रास से तार खींचा गया है, अत: ब्रास का आयतन = खींचे गये तार का आयतन
अत: खींचे गये बेलनाकार तार का आयतन = 2200 cm3
पुन: प्रश्न में दिया गया है, तार का व्यास = 0.25 cm
अत: तार की त्रिज्या = 0.25/2 = 0.125 cm
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h
⇒ 2200 cm3 = 22/7 × (0.125 cm)2 × h
अत:, h = 2200 cm3 × 7/22 × 0.125 × 0.125 cm2
⇒ h = 700/0.125 × 0.125 cm
⇒ h = 44800 cm
⇒ h = 44800/100 m = 448 m
अत: खींचे गये बेलनाकार तार की लम्बाई = 44800 cm या 448 mउत्तर
प्रश्न संख्या (5) एक खोखले बेलन जिसकी लम्बाई 16 cm, बाहरी व्यास 20 cm और मोटाई 2.5 mm बनाने के लिए 2 cm व्यास वाले कितने लम्बे ठोस बेलन की आवश्यकता होगी?
हल:
[आरडी शर्मा गणित क्लास दशम प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या (5) को हल करने की योजना: (1) खोखले बेलन में धातु का आयतन निकालें। (2) खोखले बेलन के धातु का आयतन ठोस बेलन का आयतन के बराबर होगा। (3) ठोस बेलन के आयतन तथा व्यास का उपयोग कर बेलन की लम्बाई ज्ञात करें।]
दिया गया है, खोखले बेलन की लम्बाई = 16 cm
खोखले बेलन का बाहरी व्यास = 20 cm
अत: बेलन की बाहरी त्रिज्या (R) = 20/2 = 10 cm
पुन: दिया गया है, बेलन की मोटाई = 2.5 mm = 2.5/10 cm = 0.25 cm
अत: बेलन का आंतरिक त्रिज्या (r) = बाहरी त्रिज्या (R) – मोटाई
= 10 cm – 0.25 cm = 9.75 cm
अत: खोखले बेलन की आंतरिक त्रिज्या (r) = 9.75 cm
हम जानते हैं कि खोखले बेलन के धातु का आयतन = π h (R2 – r2)
जहाँ, R = बाहरी त्रिज्या, और r = आंतरिक त्रिज्या
अत: दिये गये खोखले बेलन के धातु का आयतन = π × 16cm(10 cm)2 – (9.75 cm)2
= π × 16 cm × (100 – 95.0625) cm2
= π × 16 × 4.9735 cm3 = π 79 cm3
अत: खोखले बेलन के धातु का आयतन = 79 π cm3
यह खोखले बेलन में उपस्थित धातु का आयतन ठोस बेलन जिससे खोखला बेलन बनाया जाना है के आयतन के बराबर होगा।
अत: ठोस बेलन का आयतन = 79 π cm3
अब प्रश्न के अनुसार ठोस बेलन का व्यास = 2 cm
अत: ठोस बेलन की त्रिज्या = 2 cm/2 = 1 cm
अब ठोस बेलन का आयतन = π r2 h
⇒ 79 π cm3 = π (1 cm2) h
अत: h = 79 π cm3/π 1 cm2
या, h = 79 cm
अत: लिये जाने वाले दिये गये ठोस बेलन की आवश्यक लम्बाई = 79 cm उत्तर
Reference: