पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
दसवीं गणित
आरडी शर्मा प्रश्नावली 16.1 प्रश्न 6 से 10 का हल
प्रश्न संख्या (6) एक समान व्यास तथा ऊँचाई वाले बेलनाकार बर्तन जिसमें पूरा जल भरा है को जब 42 cm व्यास तथा 21 cm ऊँचाई वाले दो समान बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है तो ये दोनों बर्त्न पूरी तरह भर जाते हैं, तो बड़े वाले बेलनाकार बर्तन का व्यास तथा ऊँचाई निकालें।
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न संख्या (6) को हल करने की योजना (a) छोटे वाले दोनों समान बेलनाकार बर्तन का आयतन निकालें (b) दोनों छोटे वाले बेलनाकार बर्तनों के आयतन का योग बड़े वाले बेलनाकार बर्तन के आयतन के बराबर होगा। (c) बड़े वाले बेलनाकार बर्तन के आयतन का उपयोग कर उसकी ऊँचाई तथा व्यास निकालें।]
दिया गया है, छोटे वाले समान बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 21 cm
छोटे वाले बर्तन का व्यास = 42 cm
अत: छोटे वाले बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या = 42/2 = 21 cm
बड़े वाले बेलनाकार बर्तन का व्यास = उसकी ऊँचाई
मान लिया बड़े वाले बर्तन की त्रिज्या = r
अत: बड़े वाले बर्तन का व्यास = 2r
अत: बड़े वाले बर्तन की ऊँचाई = 2r (चूँकि प्रश्न के अनुसार बड़े वाले बर्तन की ऊँचाई तथा व्यास बराबर है)
अत: बड़े वाले बर्तन का व्यास तथा ऊँचाई = ?
छोटे वाले बेलनाकार बर्तन के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = 4/3 π r2 h
अत: दिये गये छोटे वाले बेलनाकार बर्तन का आयतन = 4/3 π (21 cm)2 × 21 cm
= 4/3 π (21 cm)3
अब दोनों समान बेलनाकार बर्तन का आयतन = एक बेलनाकार बर्तन का आयतन × 2
= 2 × 4/3 π (21 cm)3
चूँकि बड़े वाले बेलनाकार बर्तन से पानी छोटे वाले दोनों बेलनाकार बर्तनों को पूरा पूरा भर देता है, अत:
समान आकार वाले दोनों छोटे बेलनाकार बर्तनों के आयतन का योग = बड़े वाले बेलनाकार बर्तन का आयतन
अत: बड़े वाले बेलनाकार बर्तन का आयतन = 2 × 4/3 π (21 cm)3
⇒ 4/3 π r2 × h = 2 × 4/3 π (21 cm)3
⇒ 4/3 π r2 × 2 r = 2 × 4/3 π (21 cm)3
[चूँकि ऊँचाई = 2r (जैसा कि माना गया है।)]
⇒ 2 × 4/3 π r3 = 2 × 4/3 π (21 cm)3
⇒ r3 = 2 × 4/3 π (21 cm)3/2 × 4/3 π
⇒ r3 = (21 cm)3
अत: त्रिज्या (r) = 21 cm
अत: व्यास = 2 × r = 21 cm × 2 = 42 cm
अत: बड़े वाले बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई तथा व्यास = 42 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (7) 14 cm व्यास तथा 0.5 cm मोटाई वाले 50 गोलाकार प्लेट को एक दूसरे के ऊपर रखकर बेलन का रूप दिया गया है, तो इस तरह बने हुए बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात क्या होगा?
हल:
[आरडी शर्मा क्लास दशम गणित प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न संख्या (6) को हल करने की योजना (a) प्लेट की मोटाई तथा संख्या को गुणा कर प्लेट को एक दूसरे पर रखकर बनाये गये बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें। (b) गोलाकार प्लेट की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या होगी। (c) त्रिज्या तथा ऊँचाई का उपयोग कर बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें।]
दिया गया है, गोलाकार प्लेट का व्यास = 14 cm
अत: गोलाकार प्लेट की त्रिज्या = 14/2 = 7 cm
गोलाकार प्लेट की कुल संख्या = 50
तथा एक प्लेट की मोटाई = 0.5 cm
चूँकि प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बेलन बनाया है,
अत: सभी 50 प्लेटों की कुल मोटाई अर्थात बनाये गये बेलन की ऊँचाई = 0.5 cm × 50
= 25 cm
अत: प्लेटों से बने बेलन की ऊँचाई = 25 cm
तथा बनाये गये बेलन की त्रिज्या = प्लेट की त्रिज्या = 7 cm
अत: प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बनाये गये बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π r(h + r)
अत: प्रश्न में बनाये गये बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 7cm(25cm + 7cm)
= 2 × 22 × 31cm2 = 1408 cm2
अत: प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बनाये गये बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1408 cm2 उत्तर
प्रश्न संख्या (8) 25 गोलाकार प्लेटों, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या 10.5 cm और मोटाई 1.6 cm है, को एक दूसरे के ऊपर रखकर एक ठोस बेलन बनाया जाता है। इस बनाये गये ठोस बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल तथा आयतन निकालें।
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम (10) गणित प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (8) के हल की योजना (a) प्लेट की मोटाई तथा प्लेटों की संख्या को गुणा कर बेलन की ऊँचाई ज्ञात करे। (b) प्लेट की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या है। (c) त्रिज्या तथा ऊँचाई लेकर बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल तथा आयतन की गणना करें।]
दिया गया है, गोलाकार प्लेट की त्रिज्या = 10.5 cm
प्लेट की मोटाई = 1.6 cm
गोलाकार प्लेट की कुल संख्यां = 25
अत: प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बनाये गये बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल तथा आयतन = ?
अत: सभी प्लेटों की कुल मोटाई अर्थात प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बनाये गये बेलन की ऊँचाई
= एक गोलाकार प्लेट की मोटाई × प्लेटों की कुल संख्यां
= 1.6 cm × 25
अत: प्लेटों को एक दूसरे के ऊपर रखकर बनाये गये बेलन की ऊँचाई = 40 cm
बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 π r h
अत: प्रश्न में बने हुए बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 10.5 cm × 40 cm
= 18480 cm2/7 = 2640 cm2
अत: प्रश्न में बने हुए बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2640 cm2
बेलन के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन = π r2 h
अत: प्रश्न में दिये गये बेलन का आयतन = 22/7 × (10.5 cm)2 × 40cm
= 97020 cm3/7 = 13860 cm3
अत: बेलन का आयतन = 13860 cm3
अत: प्रश्न में बने बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2640 cm2 और आयतन = 13860 cm3 उत्तर
प्रश्न संख्या (9) एक 40 m व्यास वाले गोलाकार तालाब के चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता बना हुआ है। इस गोलाकार रास्ते को बजरी (कंकड़) से 20 cm गहराई तक पाटने में कितने घन मीटर बजरी (कंकड़) की आवश्यकता होगी?
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम (10) गणित प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (9) के हल की योजना (a) गोलाकार तालाब का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) तालाब के चारों ओर बने रास्ते सहित तालाब का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (c) रास्ते सहित तालाब के क्षेत्रफल में से तालाब के क्षेत्रफल को घटाकर रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (d) रास्ते के क्षेत्रफल को दिये गये गहराई 20 cm से गुणा कर आवश्यक बजरी (कंकड़) का आयतन घन मीटर में निकालें।]
दिया गया है, गोलाकार तालाब का व्यास = 40 m
अत: तालाब की त्रिज्या = 40/2 = 20 m
तालाब के चारों ओर बने रास्ते की चौड़ाई = 2 m
अब रास्ते सहित तालाब की त्रिज्या = तालाब की त्रिज्या + रास्ते की चौड़ाई
= 20 m + 2 m = 22 m
रास्ते को बजरी (कंकड़) से पाटने की गहराई = 20 cm = 20/100 = 0.2 m
गोलाकार तालाब के चारों ओर बने रास्ते के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि, वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
अत: गोलाकार तालाब के चारों ओर बने रास्ते का क्षेत्रफल = गोलाकार तालाब का रास्ते सहित क्षेत्रफल – गोलाकार तालाब का क्षेत्रफल
= π (22 m)2 – π (20 m)2
= π (484 – 400) m2
= 22/7 × 84 m2
= 22 × 12 m2
= 264 m2
अत: गोलाकार तालाब के चारों ओर बने रास्ते का क्षेत्रफल = 264 m2
गोलाकार तालाब के चारों ओर बने रास्ते के को पाटने में लगने वाले बजरी के आयतन की गणना
रास्ते की गहराई, जहाँ तक रास्ते को पाटना है = 0.2 m
अत: रास्ते को पाटने में लगने वाले बजरी (कंकड़) का आयतन = रास्ते का क्षेत्रफल × रास्ते की गहराई
= 264 m2 × 0.2 m
= 52.8 m3
अत: रास्ते को दिये गये गहराई तक पाटने में लगने वाले बजरी (कंकड़) का आयतन = 52.8 घन मीटर उत्तर
प्रश्न संख्या (10) एक 3.5 m व्यास वाले कुँए को 16 m गहराई तक खोदकर उसमें से निकले हुए मिट्टी को यदि 27.5 m लम्बाई तथा 7 m की चौड़ाई में समान रूप से फैलाकर एक प्लेटफॉर्म बनाया जाता है, तो इस आयताकार प्लेटफॉर्म की ऊँचाई कितनी होगी?
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम (10) गणित प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (9) के हल की योजना (a) कुँए का आयतन ज्ञात करें। (b) चूँकि कुँए से निकाले गये मिट्टी से आयताकार प्लेटफॉर्म बनाया जाता है अत: प्लेटफॉर्म का आयतन कुँए के आयतन के बराबर होगा। (c) प्लेटफॉर्म के आयतन तथा दिये गये लम्बाई और चौड़ाई का उपयोग कर प्लेटफॉर्म की ऊँचाई ज्ञात करें।]
दिया गया है, कुँए का व्यास = 3.5 m
अत: कुँए की त्रिज्या = 3.5/2 = 1.75 m
पुन: दिया गया है, कुँए की गहराई, अर्थात कुँए की ऊचाई = 16 m
अब कुँए से निकाले गये मिट्टी से आयताकार प्लेटफॉर्म बनाया गया है, उस प्लेटफॉर्म का दिया गया
लम्बाई = 27.5 m
तथा चौड़ाई = 7 m
अत: बनाये गये प्लेटफॉर्म की ऊँचाई = ?
बेलनाकार कुँए के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h
चूँकि कुँए का आकार बेलनाकार होता है,
अत: कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन = बेलनाकार कुँए का आयतन
= 22/7 × (1.75 m)2 × 16 m
= 1078 cm3/7 = 154 m3
अत: कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन = 154 m3
आयताकार प्लेटफॉर्म के ऊँचाई की गणना
चूँकि कुँए से निकाली गई मिट्टी से आयताकार प्लेटफॉर्म बनाया गया है, अत:
आयताकार प्लेटफॉर्म का आयतन = कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन
हम जानते हैं कि आयताकार प्लेटफॉर्म का आयतन = लम्बाई ( ℓ ) × चौड़ाई (w) × ऊँचाई (h)
⇒ 154 m3 = 27.5 m × 7 m × h
⇒ h = 154 m3/27.5 m × 7 m
⇒ h = 154 m3/192.5 m2
या, h = 0.8 m
अत: कुँए की मिट्टी से बनाये गये आयताकार प्लेटफॉर्म की ऊँचाई = 0.8 m or 80 cm उत्तर
Reference: