पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
दसवीं गणित
आरडी शर्मा प्रश्नावली 16.1 प्रश्न संख्या 11 से 15
प्रश्न संख्या (11) एक कुँआ जिसका व्यास 2 m है 14 m की गहराई तक खोदा जात है। कुँए से निकाली गई मिट्टी को उसके चारों ओर 40 cm की ऊँचाई तक समान से रूप से फैला कर घेरा बनाया गया है। इस घेरा की चौड़ाई ज्ञात करें।
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (11) के हल की योजना (a) दिये गये व्यास से कुँए की त्रिज्या निकालें। (b) त्रिज्या और गहराई के उपयोग से कुँए का आयतन निकालें, कुँए का आयतन कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन के बराबर होगा। (c) मिट्टी का आयतन कुँए के बाहर बनाये गये घेरे के आयतन के बराबर होगा। (d) मिट्टी के आयतन तथा उससे बनाये गये घेरे की ऊँचाई का उपयोग कर घेरे की चौड़ाई ज्ञात करें। ]
दिया गया है, कुँए की गहराई = कुँए की ऊँचाई = 14 m
कुँए का व्यास = 2 m
अत: कुँए की त्रिज्या = 2 m/2 = 1 m
कुँए के चारों ओर बनाये गये घेरे की ऊँचाई = 40 cm
= 40/100 = 0.4 m
अत: कुँए के चारो ओर बनाये गये घेरे की चौड़ाई = ?
मान लिया कि कुँए के चारो ओर बनाये गये घेरे की चौड़ाई = w
अत: कुँए के चारो ओर बनाये गये गोलाकार घेरे का कुँआ सहित त्रिज्या = (w + 1) m
बेलनाकार कुँए के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h
अत: कुँए का आयतन = कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन = π (1 m)2 × 14 m = π × 14 m3
अत: कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन = π × 14 m3
कुँए के चारो ओर बनाया गया घेरा बेलन के आकार का है,
और, घेरे का आयतन = कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन
हम जानते हैं कि एक खोखले बेलन के द्रव्य का आयतन = बेलन का बाहरी आयतन – बेलन का भीतरी आयतन
= π R2 h – π r2 h
= π h(R2 – r2)
यहाँ, R = (w + 1) = कुँए सहित घेरे की त्रिज्या
और, r = 1 m = कुँए की त्रिज्या
और, h = घेरे की ऊँचाई = 04 m
अत: घेरे के मिट्टी का आयतन = π h(R2 – r2)
⇒ π 14m2 = π 0.4 m[(w + 1)m2 – (1 m)2]
⇒ (w + 1) m2 – (1 m)2 = π 14m/π 0.4 m
⇒ (w2 + 12 + 2w – 12)m2 = 35
⇒ w2 + 2w = 35
⇒ w2 + 2w – 35 = 0
⇒ w2 + 7w – 5w – 35 = 0
⇒ w(w + 7) – 5(w + 7) = 0
⇒ (w – 5)(w + 7) = 0
अब यदि (w + 7) = 0
अत: w = – 7 m
और, यदि (w – 5) = 0
अत: w = 5 m
अब ऋणात्मक मान को छोड़ने पर, w = 5 m
अत: घेरे की चौड़ाई = 5 m उत्तर
प्रश्न संख्या (12) एक 9 cm किनारे वाले वर्गाकार घन से काटे जाने वाले सबसे बड़े गोलीय समकोण शंकु का आयतन ज्ञात करें।
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (12) के हल की योजना (a) शंकु के आधार का व्यास वर्गाकार घन के किनारे के बराबर होगा, इस व्यास से शंकु के आधार की त्रिज्या निकालें। (b) शंकु की ऊँचाई ज्ञात करें जो वर्गाकार घन के किनारे के आकार के बराबर होगा। (c) शंकु की ऊँचाई और आधार की त्रिज्या का उपयोग कर शंकु के आयतन की गणना करें।]
दिया गया है, वर्गाकार घन के किनारे की लम्बाई = 9 cm
चूँकि दिये गये वर्गाकार घन से सबसे बड़े गोलीय समकोण शंकु को काटा जाना है,
अत: शंकु के आधार का व्यास = वर्गाकार घन का किनारा = 9 cm
अत: शंकु की त्रिज्या (r) = 9/2 cm = 4.5 cm
तथा शंकु की ऊँचाई (h) = वर्गाकार घन का किनारा = 9 cm
अत: दिये गये वर्गाकार घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोलीय समकोण शंकु का आयतन = ?
हम जानते हैं कि, गोलीय समकोण शंकु का आयतन = 1/3 π r22 h
अत: प्रश्न में दिये गये गोलीय समकोण शंकु का आयतन = 1/3 × 22/7 × (9/2 cm)2 × 9 cm
= 11 × 3 × 9 × 9/7 × 2 cm3
= 2673/14 cm3
= 190.92 cm3
अत: दिए गये गोलीय समकोण शंकु का आयतन = 190.92 cm3 उत्तर
प्रश्न संख्या (13) एक बेलनाकार बाल्टी जिसकी ऊँचाई 32 cm तथा आधार की त्रिज्या 18 cm है बालू से भरी हुई है। इस बाल्टी को जमीन पर खाली कर उसके बालू से एक शंकु के आकर का ढ़ेर बनाया जाता है। यदि इस शंकु के आकार वाले ढ़ेर की ऊँचाई 24 cm है, तो उस शंकु की त्रिज्या तथा तिर्यक ऊँचाई क्या होगी?
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (13) के हल की योजना (a) बेलनाकार बाल्टी का आयतन निकालें। (b) बेलनाकार बाल्टी का आयतन उसके बालू से बनाये गये शंकु के आकार के ढ़ेर के आयतन के बराबर होगा। (c) शंकु के दिये गये ऊँचाई तथा शंकु के आयतन का उपयोग कर शंकु की त्रिज्या निकालें। (d) शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का उपयोग कर पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से शंकु की तिर्यक ऊँचाई निकालें।]
दिया गया है, बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (h) = 32 cm
तथा बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या = (r) = 18 cm
बाल्टी के बालू से जमीन पर बनाए गये शंकु आकार के ढ़ेर की ऊँचाई = 24 cm
अत: शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई = ?
बेलनाकार बाल्टी के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि, बेलन आयतन = π r2 h
अत: दिये गये बेलनाकार बाल्टी का आयतन = π (18 cm)2 × 32 cm
= π 324 × 32 cm3
अत: बाल्टी के बालू का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन = 10368 π cm3
अब चूँकि बाल्टी में भरे हुए बालू से जमीन पर शंकु आकार का ढ़ेर बनाया गया है,
अत:, बालू का आयतन = बालू से बनाये गये शंकु का आयतन
शंकु के त्रिज्या की गणना
हम जानते हैं कि शंकु का आयतन = 1/3 π r2 h
या, बालू के ढ़ेर से बनाये गये शंकु का आयतन = बालू का आयतन = 1/3 π r3 × 24 cm
⇒ 10368 π cm3 = 8 r2 π
⇒ r2 = 10368 π cm3/8 π
⇒ r2 = 1296 cm2
अत:, r = 36 cm = शंकु की त्रिज्या
शंकु के तिर्यक ऊँचाई ( ℓ ) की गणना
यहाँ शंकु की ऊँचाई (h) = 24 cm, और शंकु की त्रिज्या (r) = 36 cm
अत: शंकु की तिर्यक ऊँचाई ( ℓ ) = ?
हम जानते हैं कि एक गोलीय समकोण शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज बनाती है।
यहाँ ABC एक समकोण त्रिभुज है।
अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
AC2 = AB2 + BC2
⇒ ℓ 2 = (24 cm)2 + (36 cm)2
= 576 cm2 + 1296 cm2
= 1872 cm2
अत: ℓ = √1872 cm2
अत: शंकु की तिर्यक ऊँचाई ( ℓ ) = 43.266 cm = 43.27 cm
अत: शंकु की त्रिज्या = 36 cm तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 43.27 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (14) बर्षा का जल, जो कि एक 6 m लम्बाई तथा 4 m मीटर चौड़ाई वाली छत पर गिरता है, को एक बेलनाकार बर्तन जिसकी आंतरिक त्रिज्या 20 cm है, में स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि कुल बर्षा 1 cm हुई है, तो उस बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई क्या होगी? [ π = 22/7 का उपयोग करें ]
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (14) के हल की योजना (a) यहाँ पानी की ऊँचाई 1 cm है। (b) पानी का आयतन ज्ञात करें। (c) पानी का आयतन और बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या का उपयोग कर बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई ज्ञात करें।]
दिया गया है, आयताकार छत की लम्बाई = 6 m
= 6 × 100 = 600 cm
तथा उसी आयताकार छत की चौड़ाई = 4 m
= 4 × 100 = 400 cm
तथा पानी की ऊँचाई = 1 cm
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या = 20 cm
पानी को बेलनाकार बर्तन में स्थानांतरित करने पर पानी की ऊँचाई = ?
आयताकार सतह पर पानी के आयतन की गणना
चूँकि बर्षा का जल छत पर समान रूप से फैल जाता है अत: छत पर जमा हुए जल का आयतन, छत के क्षेत्रफल तथा जल की ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा।
अत: जल का आयतन = छत की लम्बाई × छत की चौड़ाई × जल की ऊँचाई
= 600 cm × 400 cm × 1 cm
= 240000 cm3
बेलनाकार बर्तन में जल को स्थानांतरित करने पर जल के ऊँचाई की गणना
हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन = π r2 h
अत: बेलनाकार बर्तन में रखे पानी का आयतन = बेलन का आयतन = π (20 cm)2 h
⇒ 240000 cm3 = 22/7 × 20 × 20 cm2 × h
अत:, h = 240000 cm3 × 7/20 × 20 × 22 cm2
Or, h = 190.90 cm
अत: बेलनाकार बर्तन में पानी ऊँचाई = 190.90 cm = 191 cm (लगभग) उत्तर
प्रश्न संख्या (15) एक शंकु के आकार वाले फ्लास्क में पूरा पानी भरा है, जिसकी ऊँचाई h और आधार की त्रिज्या r है। इस पानी को एक बेलनाकार फ्लास्क जिसके आधार की त्रिज्या mr है में उलट दिया जाता है तो बेलनाकार फ्लास्क में पानी की ऊँचाई क्या होगी?
हल:
[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (15) के हल की योजना (a) शंकु के आकार वाले फ्लास्क के आयतन की गणना करें, यह उसमें रखे पानी के आयतन के बराबर होगा। (b) पानी के आयतन और बेलनाकार फ्लास्क की त्रिज्या का उपयोग कर उसमें रखे पानी की ऊँचाई ज्ञात करें।]
दिया गया है, शंकु के आकार वाले फ्लास्क की त्रिज्या = r
तथा शंकु के आकार वाले फ्लास्क की ऊँचाई = h
बेलनाकार फ्लास्क की त्रिज्या = mr
बेलनाकार फ्लास्क में पानी उड़ेलने पर उसमें पानी की ऊँचाई = ?
शंकु के आकार वाले फ्लास्क के आयतन की गणना
हम जानते हैं कि, शंकु का आयतन = 1/3 π r2h
अत: दिये गये शंकु के आकार वाले फ्लास्क आ आयतन = 1/3 π r2h
चूँक़ि शंकु के आकार वाले फ्लास्क में पानी भरा हुआ है, अत: उस पानी का आयतन = शंकु के आकार वाले फ्लास्क का आयतन
= 1/3 π r2h
बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई की गणना
मान लिया कि बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई = hw
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h
चूँकि शंकु के आकार वाले फ्लास्क में से पानी को बेलनाकार फ्लास्क में उड़ेला जाता है,
अत: शंकु के आकार वाले फ्लास्क का आयतन = बेलनाकार फ्लास्क में पानी का आयतन
अत: बेलनाकार फ्लास्क में पानी का आयतन = π (m r)2 hw
⇒ 1/3 π r2h = π (m r)2 hw
⇒ hw = π r2 h/3 × π m2 r2
⇒ hw = h/3 m2
अत: बेलनाकार फ्लास्क में पानी की ऊँचाई = h/3 m2 Answer
Reference: