त्रिभुज

एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.1

प्रश्न संख्यां : (1) कोष्ठकों में दिये शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:

प्रश्न संख्यां : (1)(i) सभी वृत्त ________ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)

हल: सभी वृत्त समरूप होते हैं।

ब्याख्या: दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं। अत: सभी वृत समरूप होते हैं।

प्रश्न संख्यां : (1)(ii) सभी वर्ग _________ होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)

हल: सभी वर्ग समरूप होते हैं।

ब्याख्या: दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं। अत: सभी वर्ग समरूप होते हैं।

प्रश्न संख्यां : (1)(iii) सभी _______ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)

हल: सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

ब्याख्या: दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं। चूँकि सभी समबाहु त्रिभुज की आकृतियाँ समान होती हैं, अत: सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होंगे। और दो समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों में अंतर हो सकता है, अत: सभी समद्विबाहु त्रिभुज समरूप नहीं हो सकते हैं।

प्रश्न संख्यां : (1)(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण __________ हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ __________ हों। (बराबर, समानुपाती)

हल: भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा

(ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

प्रश्न संख्यां : (2) निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न भिन्न उदाहरण दीजिए:

प्रश्न संख्यां : (2)(i) समरूप आकृतियाँ

हल: (a) दो समबाहु त्रिभुज

(b) दो वर्ग

प्रश्न संख्यां : (2)(ii) ऐसी आकृतियां जो समरूप नहीं हैं।

हल: (a) वर्ग और त्रिभुज

(b) वर्ग तथा आयत

प्रश्न संख्यां : (3) बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

हल:

दिये गये चतुर्भुज समरूप नहीं है।

चूँकि दोनों आकृतियों के संगत भुजा समानुपाती हैं परंतु संगत कोण बराबर नहीं हैं।

एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.2

प्रश्न संख्या: (1) आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE||BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

हल:

दिया गया है:

चित्र (i) में

AD = 1.5 cm

BD = 3 cm

AE = 1 cm

तथा DE || BC

तब EC = ?

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^AD/_DB = ^AE/_EC

चित्र से AD, DB तथा AE का मान रखने पर,

^{1.5 cm}/_{3 cm} = ^{1 cm}/_EC

बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर हम पाते हैं कि

EC × 1.5 cm = 3 cm × 1 cm

⇒ EC = ^{3 cm × 1 cm}/_{1.5 cm}

⇒ EC = 2 cm

चित्र (ii) में:

DB = 7.2 cm

AE = 1.8 cm

EC = 5.4 cm तथा

DE || BC

तब, AD=?

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^AD/_DB = ^AE/_EC

DB, AE तथा EC का मान रखने पर, हम पाते हैं कि

^AD/_{7.2 cm} = ^{1.8 cm}/_{5.4 cm}

बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर हम पाते हैं कि

AD = ^{1.8 cm × 7.2 cm}/_{5.4 cm}

⇒ AD = 2.4 cm

अत: (i) में EC = 2 cm और (ii) में AD = 2.4 cm उत्तर

प्रश्न संख्यां : (2) किसी Δ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:

(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii) PQ =1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, और PF = 0.36 cm

हल:

मान लिया कि दिया गया त्रिभुज चित्र के अनुसार है,

प्रश्न संख्यां : (2)(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

यदि EF || QR, तो

^PE/_EQ = ^PF/_FR

अब ^PE/_EQ = ^{3.9 cm}/_{3 cm}

⇒ ^PE/_EQ = 1.3

तथा ^PF/_FR = ^{3.6 cm}/_{2.4 cm}

⇒ ^PF/_FR = ³/₂ = 1.5

यहाँ चूँकि ^PE/_EQ ≠ ^PF/_FR

अत: EF ∦ QR उत्तर

प्रश्न संख्यां : (2)(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

यदि EF || QR, तो

^PE/_EQ = ^PF/_FR

अब ^PE/_EQ = ⁴/_4.5

तथा ^PF/_FR = ⁸/₉ = ⁴/_4.5

अत: ^PE/_EQ = ^PF/_FR

अत: EF ∥ QR उत्तर

प्रश्न संख्यां : (2)(iii) PQ =1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, और PF = 0.36 cm

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

यदि EF || QR, तो

^PE/_EQ = ^PF/_FR

अब ^PE/_EQ = ^{0.18 cm}/_{PQ – PE}

⇒ ^PE/_EQ = ^{0.18 cm}/_{1.28 cm – 0.18 cm}

⇒ ^PE/_EQ = ^0.18/_1.10

तथा ^PF/_FR = ^{0.36 cm}/_{PR – PF}

⇒ ^PF/_FR = ^{0.36 cm}/_{2.56 cm – 0.36 cm}

⇒ ^PF/_FR = ^0.36/_2.20 = ^0.18/_1.10

अत: EF ∥ QR उत्तर

प्रश्न संख्या: (3) आकृति 6.18 में यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो तो सिद्ध कीजिए कि ^AM/_AB = ^AN/_AD है।

हल:

दिया गया है, LM ∥ CB

अत: Δ ABC ~ Δ AML

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

^AM/_AB = ^AL/_AC -------- (i)

पुन: दिया गया है, LN ∥ CD

अत: Δ ACD ~ Δ ALN

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

^AN/_AD = ^AL/_AC ------- (ii)

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से

^AM/_AB = ^AN/_AD प्रमाणित।

प्रश्न संख्यां : 4 दिये गये आकृति में DE ∥ AC और DF ∥ AE है। सिद्ध कीजिए कि ^BF/_FE = ^BE/_EC है।

हल:

दिया गया है, DE ∥ AC

अत: Δ ABC ~ Δ DBE

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^BE/_EC = ^BD/_DA -------- (i)

पुन: दिया गया है, DF ∥ AE

अत: Δ ABE ~ Δ DBF

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^BF/_FE = ^BD/_DA --------- (ii)

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से

^BF/_FE = ^BE/_EC प्रमाणित।

प्रश्न संख्यां : (5) आकृति 6.20 में DE ∥ OQ और DF∥OR है। दर्शाइए कि EF ∥ QR है।

हल:

दिया गया है, DE ∥ OQ

अत: Δ POQ में,

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^PE/_EQ = ^PD/_DO -------(i)

पुन: दिया गया है, DF ∥ OR

अत: Δ POR में ,

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^PF/_FR = ^PD/_DO --------- (ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) के द्वारा,

^PE/_EQ = ^PF/_FR

अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार

EF ∥ QR प्रमाणित।

प्रश्न संख्या: (6) दिये गये आकृति 6.21 में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB ∥ PQ और AC ∥ PR है। दर्शाइए कि BC ∥ QR है।

हल :

दिया गया है, AB ∥ PQ

अत: Δ OPQ में,

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^OA/_AP = ^OB/_BQ -------- (i)

पुन: दिया गया है, AC ∥ PR

अत: Δ ORP में,

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^OA/_AP = ^OC/_CR -------- (i)

अब समीकरण (i) तथा (ii) से

^OB/_BQ = ^OC/_CR

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय विलोम के अनुसार

BC ∥ QR प्रमाणित

प्रश्न संख्या: (7) प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गए रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं)

हल :

मान लिया कि PQR एक त्रिभुज है, तथा बिन्दु E इस त्रिभुज के PQ भुजा पर मध्य बिन्दु है।

अत: PE = EQ (चूँकि E इस भुजा का मध्य बिन्दु है)

अब EF रेखा त्रिभुज की भुजा QR के समानांतर खींची गई।

अब चूँकि EF ∥ QR

अत: ^PF/_FR = ^PE/_EQ

⇒ ^PF/_FR = ^PE/_PE

[∵ PE = EQ]

⇒ ^PF/_FR = 1

बज्र गुणन करने पर हम पाते हैं कि

PF = FR

अत: EF रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा AR को समद्विभाजित करती है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या: (8) प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

हल :

मान लिया कि PQR एक त्रिभुज है।

बिन्दु E इस त्रिभुज के PQ भुजा पर मध्य बिन्दु है और F इस त्रिभुज की भुजा PR पर मध्य बिन्दु है।

अत: PE = EQ (चूँकि E इस भुजा का मध्य बिन्दु है)

तथा PF = FR (चूँकि F इस भुजा का मध्य बिन्दु है)

अत: ^PE/_EQ = 1

⇒ ^PE/_EQ = ¹/₁ --------- (i)

तथा ^PF/_FR = 1

⇒ ^PF/_FR = ¹/₁ ------- (ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) से

^PE/_EQ= ^PF/_FR

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय विलोम के अनुसार

EF ∥ QR प्रमाणित

प्रश्न संख्या : (9) ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ^AO/_BO = ^CO/_DO है।

हल :

मान लिया कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें AB ∥ DC

तथा बिन्दु O विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु है।

अब एक EF रेखा AB के समांतर खींची जाती है।

Δ ADC में,

चूँकि OE ∥ DC

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^AE/_ED = ^AO/_OC ------- (i)

अब, Δ ABD, में

OE ∥ AB

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^ED/_AE = ^OD/_BO

⇒ ^AE/_ED = ^BO/_OD ------- (ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) के अनुसार

^AO/_OC = ^BO/_OD

⇒ ^AO/_BO = ^OC/_OD प्रमाणित

प्रश्न संख्या : (10) एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ^AO/_BO = ^CO/_DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

हल:

मान लिया कि ABCD एक चतुर्भुज है,

दिया गया है, बिन्दु O विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु है

तथा ^AO/_BO = ^CO/_DO

मान लिया एक लाइन EF रेखा AB के समांतर खींची गई।

अब Δ ABD में,

OE ∥ AB

अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार

^AE/_ED = ^BO/_OD -------- (i)

प्रश्न में दिया गया है,

^AO/_OC = ^OB/_OD -------- (ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

^AE/_ED = ^AO/_OC

थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार

⇒ EO ∥ DC

⇒ AB ∥ EO ∥ DC

⇒ AB ∥ CD

अत: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।

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