त्रिभुज
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 (भाग-2)
त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी पर आधारित प्रश्न
प्रश्न संख्यां: 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि `triangle` ABE ~ `triangle` CFB है।
हल:
मान लिया कि प्रश्न में दिया गया चतुर्भुज ABCD है।
त्रिभुज ABE तथा त्रिभुज CFB में,
`/_A = /_C` [चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
`/_AEB = /_CBF` [चूँकि AE|| BC तथा ये एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर
`triangle` ABE ~ `triangle` CFB प्रमाणित
प्रश्न संख्यां: 9. दिये गये आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) `triangle` ABC ~ `triangle` AMP
(ii) `(CA)/(PA) = (BC)/(MP)`
हल:
(i) `triangle` ABC ~ `triangle` AMP
त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज AMP में,
`/_ABC = /_AMP` [चूँकि दोनों कोण अलग अलग `90^o` के बराबर है।]
तथा, `/_A` दोनो त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ABC ~ `triangle` AMP
(ii) `(CA)/(PA) = (BC)/(MP)`
चूँकि `triangle` ABC ~ `triangle` AMP
तथा समरूप त्रिभुजों के संगत भुजा समानुपाती होती हैं
अत: `(CA)/(PA) = (BC)/(MP)` प्रमाणित
प्रश्न संख्या: 10. CD और GH क्रमश: `/_ACB` और `/_EGF` के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमश: `triangle` ABC और `triangle` FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि `triangle` ABC ~ `triangle` FEG है, तो दर्शाइए कि:
(i) `(CD)/(GH) = (AC)/(FG)`
(ii) `triangle` DCB ~ `triangle` HGE
(iii) `triangle` DCA ~ `triangle` HGF
हल:
मान लिया कि दिया गया त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज FEG है।
तथा CD रेखा `/_BCA` को समद्विभाजित करती है, तथा GH रेखा `/_EGF` को समद्विभाजित करती है।
दिया गया है, `triangle` ABC ~ `triangle` FEG
(i) `(CD)/(GH) = (AC)/(FG)`
`triangle` ABC तथा `triangle` FEG
चूँकि `triangle` ABC ~ `triangle` FEG
अत: `/_A = /_F,
`/_B = /_E` तथा `/_ACB = /_FGE`
अत: `/_ACD = /_FGH` [कोण समद्विभाजक] -------(i)
तथा `/_DCB = /_HGE` [कोण समद्विभाजक] ----(ii)
अब, त्रिभुज ACD तथा त्रिभुज FGH में,
`/_A = /_F ` तथा `/_ACD = /_FGH`
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ACD ~ `triangle` FGH
अत: `(CD)/(GH) = (AC)/(FG)` प्रमाणित
(ii) `triangle` DCB ~ `triangle` HGE
दिया गया है, `triangle` ABC ~ `triangle` FEG
अत: `/_B = /_E`
तथा, `/_DCB = /_HGE` [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` DCB ~ `triangle` HGE प्रमाणित
(iii) `triangle` DCA ~ `triangle` HGF
दिया गया है, `triangle` ABC ~ `triangle` FEG
अत: `/_A = /_F`
तथा, `/_ACD = /_FGH` [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` DCA ~ `triangle` HGF प्रमाणित
प्रश्न संख्यां : 11. दिये गये आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC के बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि `AD_|_BC` और `EF _|_ AC` है तो सिद्ध कीजिए कि `triangle` ABD ~ `triangle` ECF है।
हल :
दिया गया है,
AB = AC, AD `_|_` BC तथा EF `_|_` AC
तो सिद्ध करना है कि `triangle` ABD ~ `triangle` ECF
त्रिभुज ABD तथा त्रिभुज ECF में,
चूँकि, AB = AC
अत: `/_ABD = /_ECF`
तथा `/_BDA = /_CFE ` [चूँकि AD `_|_` BC तथा EF `_|_` AC]
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर
`triangle` ABD ~ `triangle` ECF
प्रश्न संख्या: 12. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमश: भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है (देखिये आकृति)। दर्शाइए कि `triangle` ABC ~ `triangle`PQR है।
हल:
दिया गया है, AD तथा PM त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR की भुजाएँ BC तथा QR की मध्यिका है।
अत: `BD = 1/2 BC` ----(i)
तथा `QM = 1/2 QR` ----(ii)
साथ ही दिया गया है,
`(AB)/(PQ) = (BC)/(QR) = (AD)/(PM)`
`=>(AB)/(PQ) = (1/2(BC)))/(1/2(QR)) = (AD)/(PM)`
`=>(AB)/(PQ) = (BD)/(QM) = (AD)/(PM)`
अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ABD ~ `triangle` PQM
अत: `/_ABD =/_PQM` [चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के संगत कोण हैं]
तथा प्रश्न में दिया गया है,
`(AB)/(PQ) = (BC)/(QR)`
अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ABC ~ `triangle` PQR प्रमाणित
प्रश्न संख्या : 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि `/_ADC = /_BAC` है। दर्शाइए कि `CA^2 = CB*CD` है।
हल:
मान लिया कि दिया गया त्रिभुज चित्र के अनुसार है।
दिया गया है, `/_ADC = /_BAC`
सिद्ध करना है: `CA^2 = CB*CD`
त्रिभुज ADC तथा त्रिभुज ABC में,
`/_DCA = /_BCA` = [उभयनिष्ठ कोण]
तथा `/_ADC = /_BAC`
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ADC ~ `triangle` BAC
अत: `(CA)/(CB) = (CD)/(CA)`
[चूँकि समरूप त्रिभुज की भुजाएँ समानुपाती होते हैं]
`=> CA*CA = CBxxCD`
`=>CA^2 = CBxxCD` प्रमाणित
प्रश्न संख्या: 14 . एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमश: समानुपाती है। दर्शाइए कि `triangle` ABC ~ `triangle` PQR है।
हल:
मान लिया कि प्रश्न में दिये गये त्रिभुज चित्र के अनुसार हैं।
दिया गया है,
`(AB)/(PQ) = (AC)/(PR) = (AD)/(PM)
अब त्रिभुज ABC में AD को E तक इस तरह बढ़ाया गया कि AD = DE
तथा E को B तथा C से मिलाया गया।
उसी तरह त्रिभुज PQR में, PM = ML खींचा गया तथा L को Q तथा R से मिलाया गया।
प्रश्न के अनुसार AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अत: BD = DC तथा QM = MR
तथा बनाबट के अनुसार,
AD = DE तथा PM = ML
अब चतुर्भुज ABED में,
विकर्ण AE तथा BC एक दूसरे को D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं,
अत: ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
अत: AC = BE तथा AB = EC
[चूँकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने की भुजा बराबर होती हैं]
उसी प्रकार PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है तथा
PR = QL तथा PQ = LR
अब प्रश्न के अनुसार,
`(AB)/(PQ) = (AC)/(PR) = (AD)/(PM)`
`=> (AB)/(PQ) = (BE)/(QL) = (2*AD)/(2*PM)`
`=>(AB)/(PQ) = (BE)/(QL) = (AE)/(PL)`
अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ABE ~ `triangle` PQL
अत: `/_BAE = /_QPL` --------- (i)
[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
उसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है, कि
`triangle` AEC ~ `triangle` PLR
अत: `/_CAE = /_RPL` ------------ (ii)
[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर
`/_BAE + /_CAE = /_QPL + /_RPL`
`=>/_CAB = /_RPQ` --------- (iii)
अब त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR में,
प्रश्न के अनुसार,
`(AB)/(PQ) = (AC)/(PR)`
तथा समीकरण (iii) से
`=>/_CAB = /_RPQ`
अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर
`triangle` ABC ~ `triangle` PQR प्रमाणित
प्रश्न संख्या : 15. लम्बाई 6 m वाले एक उर्ध्वाकार स्तंभ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि CD उर्ध्वाकार स्तंभ तथा AB एक मीनार है।
दिया गया है,
CD = 6 m, DF = 4 m तथा BE = 28 m
AB =?
यहाँ `/_CDE = ABE = 90^o`
चूँकि सूर्य की छाया एक ही समय में स्तंभ तथा मीनार पर पड़ रही है, अत: उन्नति कोण बराबर होंगे।
अर्थात, `/_FCD = /_EAB`
अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
`triangle` CDF ~ `triangle` ABE
चूँकि, समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं,
अत: `(CD)/(AB) = (DF)/(BE)`
`=> (6\ m)/(AB) = (4\ m)/(28\ m)`
`=>ABxx 4\ m = 6\ m xx 28\ m`
`=>AB = (6xx28)/4\ m`
`=>AB = 42\ m`
अत: मीनार की ऊँचाई = 42 m उत्तर
प्रश्न संख्यां: 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमश: माध्यिकाएँ हैं, जबकि `triangle`ABC ~ `triangle`PQR है। सिद्ध कीजिए कि `(AB)/(PQ) = (AD)/(PM)` है।
हल :
मान लिया कि प्रश्न में दिये गये त्रिभुज ABC और PQR चित्र के अनुसार हैं,
दिया गया है, `triangle`ABC ~ `triangle`PQR
अत: `(AB)/(PQ) = (AC)/(PR) = (BC)/(QR)` -------- (i)
चूँकि AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अत: `BD = 1/2 BC` तथा, `QM = 1/2 QR` ----- (ii)
अब समीकरण (i) तथा (ii) से `(AB)/(PQ) = (BD)/(QM)`
त्रिभुज ABD तथा त्रिभुज PQM
`(AB)/(PQ) = (BD)/(QM)`
`/_B = /_Q` [चूँकि `triangle`ABC ~ `triangle`PQR]
अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,
`triangle` ABD ~ `triangle` PQM
अत: `(AB)/(PQ) = (BD)/(QM)=(AD)/(PM)`
अत: `(AB)/(PQ) = (AD)/(PM)` प्रमाणित
Reference: