त्रिभुज

एनसीईआरटी प्रश्नावली: 6.5 के प्रश्नों के हल (भाग-2)

प्रश्न संख्या: 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल:

मान लिया कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है। तथा इसके विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।

हम जानते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं,

अत: `/_AOB = /_BOC=/_DOC` `=/_DOA = 90^o`

त्रिभुज, AOB में,

`/_AOB= 90^o`

अत: AB² = AO² + BO² ---------(i)

त्रिभुज BOC में,

`/_BOC = 90^o`

अत: BC² = BO² + CO² --------(ii)

त्रिभुज COD में,

`/_COD = 90^o`

अत: CD² = CO² + DO² --------- (iii)

उसी प्रकार, त्रिभुज AOD में,

`/_AOD = 90^o`

अत: AD² = AO² + DO² -------- (iv)

समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

AB² + BC² + CD² + AD²

= AO² + BO² + BO² + CO² + CO² + DO² + AO² + DO²

= 2(AO² + BO² + CO² + DO²) -------- (v)

अब चूँकि विकर्ण एक दूसरे को बराबर भागों में काटती हैं अर्थात समद्विभाजित करती हैं,

अत: AO = CO `= AC/2`

तथा, BO = DO `= BD/2`

अत: समीकरण (v) में, `AO = (AC)/2`, `CO=(AC)/2` , `BO = (DB)/2` तथा `DO = (DB)/2` रखने पर हम पाते हैं कि

AB² + BC² + CD² + AD²

`= 2[((AC)/2)^2+((BD)/2)^2+((AC)/2)^2+((BD)/2)^2]`

`=2[2((AC)/2)^2+2((BD)/2)^2]`

`=2xx2[(AC)^2/4 + (BD)^2/4]`

`=4xx1/4(AC^2 + BD^2)`

`=AC^2 + BD^2` प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 8. दी गई आकृति में `triangle` ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा `OD _|_ BC`, `OE_|_AC` और `OF_|_AB` है।

दर्शाइए कि

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²

= AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE²

= AE² + CD² + BF²

हल:

दी गई आकृति में OA, OC तथा OB को मिलाया गया

अब समकोण त्रिभुज AFO में,

OA² = AF² + OF²

⇒ AF² = OA² – OF² --------- (i)

`triangle` OCE में,

OC² = CE² + OE²

⇒ CE²= OC² – OE² -----------(ii)

`triangle` BDO में,

OB² = OD² + BD²

⇒ BD² = OB² – OD²-----------(ii)

अब समीकरण (i), (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर

AF²+ BD² +CE²

= OA² – OF ² + OC² – DE² + OB² – OD²

= OA² +OB²+OC² – OD² – OE² – OF² प्रमाणित

(ii) AF²+BD²+CE² = AE² + CD² + BF²

अब चूंकि दिया गया है [प्रश्न खंड(1) ] के अनुसार

AF²+BD²+CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²

=(OA² – OE²)+(OC² – OD²)+ (OB² – OF²)

= AE² + CD² + BF² प्रमाणित

प्रश्न संख्या:9: 10 m सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8m की उंचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है । दीवार के आधार से सीढी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए। हल:

मान लिया कि AB एक सीढी है जो दीवार BC पर टिकी है। जहाँ पर C उँचाई पर एक खिड़की है।

दिया गया है सीढी की लम्बाई (AC) = 10 m

तथा खिड़की की उंचाई (BC) = 8 m

दीवार के आधार (B) से सीढी के निचले सिरे तक की दूरी (AB)= ?

यहाँ, `/_B = 90^o`

[चूँकि यह एक सीधी दीवार है]

अत: पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर

AC² = AB² + BC²

⇒ (10m)² = AB² + (8m) ²

⇒ AB² =(10 m) ² – (8 m) ²

⇒ AB²= (100 – 64)m²

`:. AB = sqrt\36`

या, AB = 6 m

अत: दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे तक की दूरी = 6 m उत्तर

प्रश्न संख्या :10. 18 m उंचे एक उध्वार्कार खंभे के उपरी सिरे से तार का सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा खूंटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूटे को कितनी दूर गाड़ा जाय कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 m है।

हल:

माना कि AB एक उध्वार्कार खंभा है। तथा CB तार है।

मान लिया कि तार को तना रखने के लिए खूंटे (B) को AB दूरी पर बाँधा जाता है।

दिया गया है,

खंभे की उंचाई (AC)= 18 m

तार की लम्बाई (CB) = 24 m

तो, खंभे के आधार से खूंटे की दूरी (AB) = ?

चूँकि खम्भा उध्वार्कार है अत: `/_CAB = 90^o`

अब पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर

BC² = AB² + AC²

`=> (24m)^2=AB^2+ (18m)^2`

`=> AB^2= (24 m)^2-(18 m)^2`

= 576 m² – 324 m²

= 252 m²

∴ AB= `sqrt(252m^2)`

`=sqrt (6xx6xx7 m^2)`

=`6sqrt7\ m`

अत: खंभे से खूंटे की दूरी = `6sqrt7m` उत्तर

प्रश्न संख्या: 11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। `1\1/2` घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी? हल:

मान लिया कि बिन्दु B हवाई पट्टी है।

(a) एक जहाज बिन्दु B से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से चलता है तो 1.5 घंटे बाद तय की गई दूरी = 1000 × 1.5 = 1500 km

अर्थात यह जहाज 1500 km की दूरी तय कर बिन्दु C पर पहुँचती है।

(b) दूसरा जहाज बिन्दु B से 1200 km/hr की चाल से पश्चिम की ओर चलता है 1.5 घंटे के बाद

दूसरे जहाज द्वारा तय की गई दूरी = 1200 × 1.5 km = 1800 km

अर्थात B से A की दूरी BA= 1800km

अत: A से C की दूरी AC = ?

चूँकि B से C सीधा उत्तर की ओर है

अत: `/_B = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

AC² = AB² + BC²

⇒ AC² = (1800km) ² + (1500km)²

=(3240000 + 2250000)km²

= 5490000 km²

⇒ AC = `sqrt (549 xx 10000\ km^2)`

`=100 sqrt( 549\ km^2)`

`=100 sqrt (9 xx61\ km^2)`

`=10 xx3 sqrt 61\ km`

`=300 sqrt 61\ km`

अत: हवाई पट्टी से उड़ने के `1\1/2` घंटे बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी `=300sqrt61` km उत्तर

प्रश्न संख्या:12. दो खंभे जिनकी उंचाईयाँ 6 m तथा 11 m है तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 m है तो इनके उपरि सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल

मान लिया कि AD तथा BC दो दिये गये खंभे हैं।

दिया गया है,

AD की उँचाई = 6 m

BCकी उँचाई = 11 m

दोनो खम्भों के बीच की दूरी (AB) = 12 m

अत: CD = ?

अब बिन्दु D से E पर लम्ब डाला गया। चूंकि DE ॥ AB

∴ DE = AB = 12m

चूँकि AD ॥ BC

∴ AD = BE = 6 m

∴ CE = BC – BE

= 11m – 6m = 5m

अब चूंकि `DE _|_BC`

अत: `/_DEC = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

DC ²= DE² + EC²

=(12m) ² + (5m) ²

=144 m² + 25 m ²

⇒ DC = `sqrt (169m^2)`

⇒ DC = 13 m

अत: दोनों खम्भों के उपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 m उत्तर

प्रश्न संख्या:13. एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाएं CA और CB क्रमश: बिन्दु D और E पर स्थित है। सिद्ध कीजिए कि AE ² + BD ² = AB ² + DE ² है। हल:

मान लिया कि ABC दिया गया समकोण त्रिभुज है।

दिया गया है `/_C = 90^o`

भुजा CA पर बिन्दु D स्थित है

तथा भुजा CB पर बिन्दु E स्थित है।

तो सिद्ध करना है,

AE ² + BD ² = AB ² + DE ²

बिन्दु D को बिन्दु B तथा E से मिलाया गया।

पुन: बिन्दु E को A से मिलाया गया।

अब `triangle` ACE में,

`/_C = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AE² = AC ² + CE² ------------ (i)

त्रिभुज BCD में,

`/_C = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

BD² = BC² + DC² --------- (ii)

त्रिभुज ABC में,

`/_C = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AC² + BC² ----------- (iii)

त्रिभुज CDE में,

`/_C = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

DE² = CE² + CD² ----------- (iii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

AC² + BD² = AC² + CE² + BC² + CD²

= (AC²+BC²) + (CE² + CD²)

समीकरण (iii) तथा (iv) से BC² + AC² तथा CE² + CD² का मान रखने पर

AC² + BD² = AB² + DE² उत्तर

प्रश्न संख्या: 14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC ² है।

हल:

दिया गया है, `AD_|_CD` तथा DB = 3 CD

तो सिद्ध करना है कि, 2AB² = 2AC² + BC ²

त्रिभुज ADB में,

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AD² + DB²

⇒ AB² = AD² + (3CD) ²

[∵ DB = 3CD दिया गया है। ]

⇒ AB² = AD² + 9CD² ------- (i)

त्रिभुज ACD में,

AC² = AD² + CD²

⇒ AD² = AC² = AC² – CD² ------------ (ii)

AD² का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

AB² = AC² – CD² + 9CD²

⇒ AB² = AC² + 8 CD²

दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर

2AB² = 2AC² + 16CD² ---------(iii)

अब,

BC = CD + DB

⇒ BC = CD + 3CD

[∵ DB = 3CD (प्रश्न के अनुसार)]

⇒ BC = 4 CD

दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि

BC² = 16 CD² ------------- (iv)

अब 16 CD² का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि

2AB² = 2AC² + BC² प्रमाणित

प्रश्न संख्या : 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC क़ी भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि `BD = 1/3BC` है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² है।

हल:

मान लिया कि दिया गया समबाहु त्रिभुज ABC है।

दिया गया है, `BD = 1/3 BC`

⇒ 3BD= BC

A तथा D को मिलाया गया। तथा बिन्दु A से भुजा BC पर लम्ब AE डाला गया।

मान लिया कि दिये गये समबाहु त्रिभुज ABC की एक भुजा `=a`

चूँकि AE शीर्ष A से BC पर लम्ब है। अत: यह भुजा BC को दो बराबर भागों में बांटेगी।

अर्थात, BE = EC

चूँकि BC = a [जैसा कि माना गया है]

`:. BE = EC = a/2`

[चूँकि AE भुजा BC क़ो दो भागों में बांटती है।]

अब, ∵ `BD = 1/3 BC`

`=>BD = 1/3a = a/3`

अब त्रिभुज, AEC में,

AC² = AE² + EC²

`=>a^2 = AE^2 + (a/2)^2`

`=>AE^2 = a^2-(a^2/4)`

`=>AE^2 = (4a^2-a^2)/4`

`=>AE^2 = (3a^2)/4` ------------(i)

`=>AE^2 = (asqrt3)/2`

त्रिभुज ADE में,

AD² = AE² + DE²

`=(3a^2)/4+(BE-BE)^2`

[∵ `AE^2 = (asqrt3)/2` समीकरण (i) से]

`=(3a^2)/4 + (a/2-a/3)^2`

`=(3a^2)/4+((3a-2a)/6)^2`

`=(3a^2)/4+(2/6)^2`

`=(27a^2+a^2)/36`

`=(28a^2)/36`

`=>AD^2=(7a^2)/9`

बज्रगुणन के द्वारा

`=>9AD^2=7a^2`

⇒ 9 AD² = 7 AB²

[चूँकि AB = a (माना गया है)]

अत: 9 AD² = 7 AB² प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 16. किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुणे के बराबर होता है।

हल:

मान लिया कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा AD इसका शीर्ष लम्ब है,

तो सिद्ध करना है कि (भुजा)² × 3 = 4 × (शीर्ष लम्ब) ²

मान लिया कि इस समबागु त्रिभुज की एक भुजा = a

अत: BD = DC `=a/2`

त्रिभुज ADC में,

∴ AD² = AC² – DC²

`=a2-(a/2)^2`

`=a^2-a^2/4`

`=(4a^2-a^2)/4`

`=(3a^2)/4`

`=>AD = sqrt3\/2\a`

अब, `(AD)^2 xx4 = (sqrt3\/2\a)^2xx4 3/4a^2xx4`

`=> (AD)^2 xx4 = 3a^2`

⇒ (शीर्ष लम्ब) ² × 4 = 3×(भुजा) ²

या, (एक भुजा) ² × 3 = (शीर्ष लम्ब) ² × 4

या, एक भुजा के वर्ग का तिगुना = शीर्ष लम्ब के वर्ग का चार गुणा प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 17. सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए: त्रिभुज ABC में, `AB =6sqrt3\ cm`, AC = 12 cm, और BC = 6 cm है। कोण B है:

(A) 120^o

(B) 60^o

(C) 90^o

(D) 45^o

सही उत्तर: (C) 90^o

ब्याख्या:

मान लिया गया कि प्रश्न में दिया गया त्रिभुज चित्र के अनुसार है।

यहाँ,

AB `=6sqrt3\cm`

दोनों तरफ वर्ग करने पर

`AB^2 = (6sqrt3\cm)^2`

`=>AB^2 = 36xx3\ cm^2`

`=>AB^2 = 108 cm^2` ---------- (i)

पुन:

AC = 12 cm

दोनों तरफ वर्ग करने पर

AC² = (12 cm) ²

⇒ AC² = 144 cm² -------(ii)

तथा,

BC² = (6 cm) ²

⇒ BC² = 36 cm² -----------(iii)

यहाँ, समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से स्पष्ट है कि

AC² = AB² + BC ²

⇒ 144 cm² = 108 cm² + 36 cm²

अर्थात त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय का पालन करता है। चूँकि AC सबसे लम्बी भुजा है, अत: AC भुजा का सम्मुख कोण `/_B = 90^o`

अत: (C) 90^o सही विकल्प है।

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Reference:

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