त्रिभुज

एनसीईआरटी प्रश्नावली: 6.6 (ऐच्छिक) के प्रश्नों के हल

प्रश्न संख्या: 1. दी गई आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि `(QS)/(SR) = (PQ)/(PR)`

हल:

दी गई आकृति में, रेखा PS के समानांतर एक दूसरी रेखा RT खींचा गया तथा QP को QT तक बढ़ाया गया।

दिया गया है,

PS कोण QPR का समद्विभाजक है, अत: `/_QPS = /_RPQ` --------- (i)

चूँकि PS समानांतर है TR

अत: `/_SPR = /_PRT` -------- (ii)

(अंत: कोण हैं, जो कि बराबर होते हैं।)

तथा, `/_QPS = /_QTR` --------- (iii)

(संगत कोणों के युग्म हैं, जो कि बराबर होते हैं।)

स्पष्टत: समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से

`/_PRT = /_RPT`

अत: PR = PT

अब त्रिभुज QPS तथा त्रिभुज QTR में,

चूँकि PS|| TR

अत: `(QS)/(SR) = (QP)/(PT)`

अब चूँकि PT = PR, अत:

`(QS)/(SR)=(QP)/(PR)` प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 2. दी गई आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि `BD_|_AC` तथा `DM_|_BC` और `DN_|_AB` है।

सिद्ध कीजिए कि

(i) DM² = DN.MC

(ii) DN² = DM.AN

हल:

(i) सिद्ध कीजिए DM² = DN.MC

दिया गया है, `BD_|AC\, DM_|_BC` तथा `DN_|_AB`

अत: DN||BC तथा DM||AB

तथा, `/_MDN = /_DMB = /_MBN =/_BND=90^o`

अत: MBDN एक चतुर्भुज है।

अत: DM = BN तथा DN = MB

चूँकि `BD_|_AC` (प्रश्न के अनुसार)

अत: `/_CDB = 90^o`

अत: `/_2+/_3=90^o` --------------- (i)

त्रिभुज CDM में,

`/_1+/_2+/_CMD = 180^o`

[चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग =180^o होता है।]

`=>/_1+/_2+90^o = 180^o`

`=>/_1+/_2= 180^o-90^o`

`=>/_1+/_2=90^o` --------- (ii)

त्रिभुज MBD में,

`/_3+/_4+/_DMB = 180^o`

[चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग =180^o होता है।]

`=>/_3+/_4+90^o = 180^o`

`=>/_3+/_4 = 180^o-90^o`

`=>/_3+/_4 = 90^o` ---------- (iii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

`/_1=/_3` ------- (iv)

समीकरण (i) तथा (iii) से,

`/_2 = /_4` ------------ (v)

अब त्रिभुज, DCM तथा त्रिभुज BDM में,

`/_1 = /_3` (समीकरण (iv) से)

`/_2 = /_4` (समीकरण (v) से)

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार

`triangle` DCM ~ `triangle` BDM

अत: `(BM)/(DM) = (DM)/(MC)`

`=>(DN)/(DM) = (DM)/(MC)`

[∵ BM = DN]

बज्र गुणन के बाद

`=>DM^2 = DN*MC` प्रमाणित

(ii) सिद्ध कीजिए कि DN² = DM.AN

समकोण त्रिभुज DBN में,

∵ `/_DNB = 90^o`

`:. /_5+/_7 = 90^o` ----------- (vi)

समकोण त्रिभुज, DNA में,

∵ `/_DNA = 90^o`

`:./_6+/_8 = 90^o` ---------- (vii)

अब चूँकि BD`_|_` AC (प्रश्न के अनुसार)

`:. /_BDA = 90^o`

`:. /_5+/_6 = 90^o` ---------- (viii)

समीकरण (vi) तथा (viii) से

`/_6 = /_7` ------------- (ix)

अब त्रिभुज DBN तथा त्रिभुज DNA में,

`/_6 = /_7` (समीकरण (ix) से)

तथा, `/_DNA = /_DNB`

[चूँकि `DN_|_AB` प्रश्न के अनुसार]

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार

`triangle` DNA ~ `triangle` DBN

`:. (AN)/(DN) = (DN)/(NB)`

`=> (AN)/(DN) = (DN)/(DM)`

[∵ NB = DM]

बज्र गुणन के बाद

`=>DN^2 = AN*DM` प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 3. आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें, `/_ABC \>90^o` है तथा `AD_|_CB` है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC . BD है।

हल:

दिया गया है, `AD_|_CB`

अत: `/_ADB = 90^o`

अब समकोण त्रिभुज ADB में,

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AD²+DB² ----------- (i)

अब समकोण त्रिभुज ADC में,

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = AD² + (DB+BC) ²

⇒ AC² = AD² + DB² + BC²+2BC.DB

समीकरण (i) से AD²+DB²=AB ² रखने पर,

⇒ AC² = AB²+BC²+2 BC . DB प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 4. आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें `/_ABC\ < 90^o` है तथा `AD_|_BC` है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB²+BC² – 2BC . BD है।

हल:

समकोण त्रिभुज ADB में,

`/_ADB = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AD² + BD²

⇒ AD² = AB² – BD² ------------ (i)

अब समकोण त्रिभुज ADC में,

`/_ADC = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

AC² = AD²+DC²

=AD² + (BC – BD) ²

= AD² + BC²+BD² – 2 BC . BD

समीकरण (i) से AD² = AB² – BD² रखने पर

= AB² – BD²+BC²+BD²– 2BC . BD

⇒ AC² = AB² + BC²– 2BC . BD

प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 5. आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा `AM_|_BC` है। सिद्ध कीजिए कि

(i) `AC^2=AD^2+BC*DM+((BC)/2)^2`

(ii) `AB^2 = AD^2-BC*DM+((BC)/2)^2`

(iii) `AC^2+AB^2=2AD^2+1/2(BC)^2`

हल:

दिया गया है, `AM_|_BC`

`:. /_AMC = /_AMB=90^o`

पुन: दिया गया है, AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है,

अत: `BD = DC = BC/2`

(i) `AC^2=AD^2+BC*DM+((BC)/2)^2`

त्रिभुज, AMD में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AD² = AM² + MD² --------- (i)

त्रिभुज, AMC में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AC² = AM² + MC²

= AM² + (MD+DC) ²

[∵ MC = MD+DC]

= AM² + MD² + DC² + 2MD . DC

= (AM² + MD²) + DC² + 2MD . DC

समीकरण (i) से AD² = AM² + MD² रखने पर

AC² = AD² + DC² + 2 MD . DC

`=AD^2 + ((BC)/2)^2+2 MDxx(BC)/2`

[चूँकि BD = DC = BC/2 ]

`:. AC^2 = AD^2 + MD*BC+((BC)/2)^2` प्रमाणित

(ii) `AB^2 = AD^2-BC*DM+((BC)/2)^2`

त्रिभुज AMD में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AD² = AM² + MD²

⇒ AM² = AD² – MD² ------------ (i)

त्रिभुज, ABM में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AM² + BM²

= (AD²– MD²) + BM²

[समीकरण (i) से AM² का मान रखने पर ]

= AD²– MD² + (BD–MD) ²

[चूँकि BM = BD– MD]

= AD²– MD² + BD² + MD² – 2 BD . MD

= AD² + BD² – 2BD . MD

`=AD^2 + ((BC)/2)^2*(BC)/2*MD`

`=>AB^2=AD^2-BC*MD+((BC)/2)^2` प्रमाणित

(iii) `AC^2+AB^2=2AD^2+1/2(BC)^2`

त्रिभुज ABM में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

AB² = AM² + BM² -------- (i)

त्रिभुज, AMC में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

AC² = AM² + MC² -------- (ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

AC² + AB²

= AM² + BM² + AM² + MC²

= 2AM² + MC² + BM²

= 2AM² + (MD + DC) ² + (BD – MD) ²

[चूँकि MC = MD + DC तथा BM = BD – MD]

= 2AM² + MD² + DC² + 2MD . DC + BD² + MD² – 2BD . MD

= 2AM² + 2MD² + (BC/2) ² + (BC/2) ² + 2 MD(DC – BD)

= 2AM² + 2MD² + (BC/2) ² + (BC/2) ² + 2MD(BC/2 – BC/2)

`=2AD^2 + 2xx((BC)/2)^2 + 2MDxx0`

`=2AD^2 + 2xx(BC)^2/4`

`=>AC^2+AB^2= 2AD^2+1/2BC^2` प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल:

मान लिया कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें AD||BC तथा AB||DC

अत: AD = BC एवं AB = DC

बिन्दु A से भुजा DC पर AN लम्ब डाला गया।

DM रेखा AN के समांनांतर खींचा गया तथा AB को सीधा M तक बढ़ाया गया।

यहाँ, `/_AMD = 90^o` तथा `/_AND = 90^o`

[चूँकि AN `_|_` DC तथा DM // AN]

त्रिभुज AMD में, `/_M=90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AD² = DM² + AM²

⇒ AM² = AD² – DM² ---------- (i)

त्रिभुज DBM में, `/_M = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

DB² = DM² + BM²

= DM² +(AM + AB) ²

[∵ BM = AM + AB]

= DM² + AM² + AB² + 2AM . AB

समीकरण (i) से AM² का मान रखने पर

= DM² + AD² – DM² + AB² + 2AM . AB

⇒ DB² = AD² + AB² + 2AM . AB ------------ (ii)

त्रिभुज AND में, `/_AND = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AD² = AN² + DN² --------- (iii)

अब त्रिभुज, ANC में, `/_ANC = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AC² = AN² + NC²

= AN² + (DC – DN) ²

[∵ NC = DC – DN]

= AN² + DC² + DN² – 2DC . DN

[क्रम बदलकर लिखने पर]

= (AN²+ DN²) + DC² – 2DC . DN

= AD² + DC² – 2DC . DN

[समीकरण (iii) से AD² = AN² + DN² ]

⇒ AC² = AD² + DC² – 2AB . AM --------- (iv)

[चूँकि DC = AB तथा AM = DN]

समीकरण (ii) तथा (iv) को जोड़ने पर

AC² + DB² = AD² + DC ² – 2AB . AM + AD² + AB² + 2AM . AB

⇒ AC² + DB² = AD² + DC² + AD² + AB²

⇒ AC² + DB² = AB² + DC² + AD² + BC² [चूँकि AD = BC]

अत: एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 7. आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) `triangle` APC ~ `triangle` DPB

(ii) AP . PB = CP . DP

हल:

(i) सिद्ध करना है कि `triangle` APC ~ `triangle` DPB

त्रिभुज APC तथा त्रिभुज PDB में,

`/_CAP = /_BDP`

चूँकि एक ही वृत्त की जीवाओं के एक ही तरफ के कोण आपस में बराबर होते हैं।

`/_APC = /_DPB`

चूँकि उर्ध्वाकार सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता की कसौटी के आधार पर

`triangle` APC ~ `triangle` DPB प्रमाणित

(ii) सिद्ध करना है कि AP . PB = CP . DP

चूँकि `triangle` APC ~ `triangle` DPB

अत: `(AP)/(CP) = (DP)/(PB)`

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

AP . PB = CP . DP प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 8. आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) `triangle` PAC ~ `triangle` PDB

(ii) PA . PB = PC . PD

हल:

(i) `triangle` PAC ~ `triangle` PDB

त्रिभुज PAC तथा त्रिभुज PDB में,

`/_PAC + /_CAB = 180^o` ---------- (i)

[चूँकि एक रेखीय कोणों के युग्म हैं, जिनका योग 180^o के बराबर होता है।]

`/_CAB = /_BDC = 180^o` ---------- (ii)

[चूँकि चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण (Opposite angle) का योग 180^o के बराबर होता है।]

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से

`/_PAC = /_PDB`

पुन: `/_APC = /_BPD` (उभयनिष्ठ कोण है।)

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता की कसौटी के आधार पर,

`triangle` PAC ~ `triangle` PDB

(ii) PA . PB = PC . PD

चूँकि `triangle` PAC ~ `triangle` PDB

अत: `(PA)/(PC) = (PD)/(PB)`

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

PA . PB = PC . PD प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 9. आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि `(BD)/(CD) = (AB)/(AC)` है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC क़ा समद्विभाजक है।

हल:

AB को सीध में M तक इतना बढ़ाया गया कि AC = AM

अब, M तथा C को मिलाया गया।

त्रिभुज ACM में,

चूँकि AC = AM

अत: `/_ACM = /_AMC`

दिया गया है, `(BD)/(CD) = (AB)/(AC)`

चूँकि AC = AM

अत: `(BD)/(CD) = (AB)/(AM)`

अत: `triangle` ABD ~ `triangle` MBC

अत: AD||MC

अत: `/_DAC = /_ACM` [चूँकि एकांतर कोण बराबर होते हैं।]

तथा, `/_BAD = /_AMC` [चूँकि संगत कोणों के युग्म बराबर होते हैं।]

अब चूँकि `/_AMC = /_ACM`

अत: `/_DAC = /_BDA`

अत: AD, कोण BAC को समद्विभाजित करता है, अर्थात समद्विभाजक है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छ्ड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकेंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

हल:

मान लिया कि प्रश्न के अनुसार, बिन्दु A मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा है।

मछली पकड़ने वाली डोरी AB है तथा BE पानी की सतह है।

दिया गया है,

पानी की सतह से मछली पकड़ने वाली छड की ऊँचाई (AD) = 1.8 m

मछली पकड़ने वाली छड के ठीक नीचे पानी की सतह से काँटा की दूरी (DB) = 2.4 m

नाजिमा से मछली पकड़ने वाली डोरी के काँटे की दूरी (BE) = 3.6 m

अत: DE = 1.2 m

तो, AB = ?

चूँकि बिन्दु D मछली पकड़ने वाली छड़ के सिरे A के ठीक सीधा नीचे है,

अत: `/_ADB = 90^o`

अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AD² + BD²

`=(1.8\ m)^2 + (2.4\ m)^2`

`=3.24\ m^2 + 5.76\ m^2 = 9\ m^2`

`=>AB = sqrt(9\ m^2)`

`=>AB = 3\ m`

दिया गया है 5 cm/s की दर से डोरी को 12 सेकेंड तक खींचा जाता है।

चूँकि 1 सकेंड में खींची गई डोरी की लम्बाई = 5 cm

अत: 12 सेकेंड में खींची गई डोरी की लम्बाई = 5 × 12 cm

`= 60\ cm = 60/100m = 0.6\ m`

मान लिया कि 12 सेकेंड के बाद डोरी बिन्दु C तक पहुँचती है।

अत: डोरी की बची हुई लम्बाई AC = AB – 0.6 m

`= 3\ m-0.6\ m = 2.4\ m`

अब, AC = 2.4 m, AD = 1.8 m

अत: `CD = sqrt(AC^2-AD^2)`

`=>CD=sqrt(2.4\ m^2-1.8\ m^2)`

`=>CD = sqrt(5.76\ m^2-3.24\ m^2)`

`=>CD=sqrt(2.52\ m^2)=1.58 \ m`

अत: 12 सेकेंड बाद मछली के काँटे की नाजिमा से दूरी

CE = CD + DE = 1.58 m + 1.2 m

⇒ CE = 2.78\ m`

अत: 12 सेकेंड बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी = 2.78 m उत्तर

MCQs Test Science

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Reference:

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