त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.4 का हल भाग 1
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
यदि एक समीकरण संबंधित सभी चरों के मानों के लिए सत्य हो, तो इसे एक सर्वसमिका कहा जाता है। तथा एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों से संबंधित सर्वसमिका यदि संबंधित कोणों के सभी मानों के लिए सत्य होता है, तो इसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहा जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को प्राप्त तथा सिद्ध किया जाना
मान लिया कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90o
इस समकोण त्रिभुज में,
कर्ण (p) = AB
तथा न्यूनकोण A के लिए
आधार (b) = AC
तथा लम्ब (p) = BC
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
(कर्ण )2 = (लम्ब )2 + (आधार )2
अत: दिये गये समकोण त्रिभुज ABC में
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2 - - - - (i)
समीकरण (i) में सभी पदों को AB से भाग देने पर हम पाते हैं कि
[AB/AB]2 = [BC/AB]2 + [AC/AB]2
⇒ 1 = [BC/AB]2 + [AC/AB]2
⇒ 1 = sin2 A + cos2 A
[∵ sin A = लम्ब /कर्ण = BC/AB तथा cos A = आधार /कर्ण = AC/AB]
⇒ sin2 A + cos2 A = 1 - - - - (ii)
⇒ sin2 A = 1 – cos2A - - - - (iii)
⇒ cos2 A = 1 – sin2A - - - - (iv)
समीकरण (i) के सभी पदों को BC से भाग देने पर हम पाते हैं कि
[AB/BC]2 = [BC/BC]2 + [AC/BC]2
[AB/BC]2 = 1 + [AC/BC]2
⇒ cosec2 A = 1 + cot2 A - - - - (v)
[∵ cosec A = कर्ण /लम्ब = AB/BC, तथा cot A = आधार /लम्ब ]
⇒ cosec2 A – cot2 A = 1 - - - - (vi)
⇒ cosec2 A – 1 = cot2 A - - - - (vii)
समीकरण (i) के सभी पदों को AC से भाग देने पर हम पाते हैं कि
[AB/AC]2 = [BC/AC]2 + [AC/AC]2
⇒ [AB/AC]2 = [BC/AC]2 + 1
⇒ sec2 A = tan2 A + 1
[∵ sec A = कर्ण /आधार , तथा tan A = लम्ब /आधार ]
⇒ 1 + tan2 A = sec2 A - - - - (viii)
⇒ tan2 A = sec2 A – 1 - - - - (ix)
⇒ sec2 A – tan2 A = 1 - - - - (x)
एनसीईआरटी दसवीं गणित प्रश्नावली 8.4 प्रश्न 1 तथा 2 का हल
प्रश्न संख्या (1) त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A तथा tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
त्रिकोणमितीय अनुपात sin A को cot A के पद में व्यक्त किया जाना
चूँकि sin A = 1/cosec A
दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि
(sin A)2 = (1/cosec A)2
(sin A)2 = 1/cosec2A
⇒ sin A = 1/cosec2A
sin A = 1/cosec2A
उपरोक्त ब्यंजक में cosec2A = 1 + cot2A रखने पर हम पाते हैं कि
sin A = 1/1 + cot2A
त्रिकोणमितीय अनुपात sec A को cot A के पद में व्यक्त किया जाना
चूँकि sec2A = 1 + tan2A
⇒ sec2A = 1 + 1/cot2A
⇒ sec2A = cot2A + 1/cot2A
sec2A = cot2A + 1/cot2A
त्रिकोणमितीय अनुपात tan A को cot A के पद में व्यक्त किया जाना
चूँकि tan A = 1/cot A
अत:
sin A = 1/1 + cot2A
sec2A = cot2A + 1/cot2A, तथा
tan A = 1/cot A
प्रश्न संख्या (2) ∠ A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल:
त्रिकोणमितीय अनुपात cos A को sec A के पद में व्यक्त करना
हम जानते हैं कि
cos A = 1/sec A - - - - - - (i)
त्रिकोणमितीय अनुपात sin A को sec A के पद में व्यक्त करना
हम जानते हैं कि
sin2 A = 1 – cos2A
= 1 – 1/sec2A
[∵ cos A = 1/secA]
= sec2A – 1/sec2A
∴ sin A = sec2A – 1/sec2A
⇒ sin A = sec2A – 1/sec A - - - - (ii)
त्रिकोणमितीय अनुपात cosec A को sec A में व्यक्त किया जाना
हम जानते हैं कि cosec A = 1/sin A
समीकरण (ii) से sin A का मान रखने पर हम पाते हैं कि
cosec A = 1/sec2A – 1/sec A
⇒ cosec A = sec A/sec2 A – 1 - - - - (iii)
त्रिकोणमितीय अनुपात tan A को sec A के पद में व्यक्त किया जाना
हम जानते हैं कि 1 + tan2A = sec2A
∴ tan2 A = sec2A – 1
⇒ tan A = sec2A – 1 --------- (iv)
त्रिकोणमितीय अनुपात cot A को sec A के पद में व्यक्त किया जाना
हम जानते हैं कि , cot A = 1/tan A
समीकरण (iv) से tan A का मान रखने पर हम पाते हैं कि
cot A = 1/sec2A – 1 --------(v)
अत;
sin A = sec2A – 1/sec A
cos A = 1/sec A
tan A = sec2A –1
cosec A = sec A/sec2A – 1
तथा , cot A = 1/sec2A – 1 उत्तर
Reference: