त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.4 का हल भाग 2
प्रश्न संख्या (3) मान निकालिए:
प्रश्न संख्या (3) (i) sin263o + sin227o/cos217o + cos273o
हल:
दिया गया है sin263o + sin2 27o/cos217o + cos273o
= (sin(90o – 27o)2 + sin227o/(cos(90o – 73o)2 + cos2732
[∵ 90o – 27o = 63o, तथा 90o–73o = 17o]
= (cos 27o)2 + sin227o/(sin 73o)2 + cos273o
[∵ sin (90o–A)=cos A तथा cos(90o–A) = sinA ]
= cos2 27o + sin2 27o/sin2 73o + cos2 73o
अब चूँकि cos2 θ + sin2 θ = 1
अत: cos2 27o + sin2 27o = 1
तथा sin2 73o + cos2 73o = 1
अत:
cos2 27o + sin2 27o/sin2 73o + cos2 73o
= 1/1 = 1
= 1 उत्तर
प्रश्न संख्या (3) (ii) sin 25o cos 65o + cos 25o sin 65o
Solution
दिया गया है
sin 25o cos 65o + cos 25o sin 65o
= sin (90o – 65o) cos 65o + cos (90o – 65o) sin 65o
[∵ 25o = 90o – 65o ]
= cos 65o cos 65o + sin 65o sin 65o
[∵ sin (90o – A) = cos A तथा cos (90o – A) = sin A
∴ sin (90o– 65o) = cos 65o
तथा उसी प्रकार cos (90o – 65o) = sin 65o]
अत: (cos 65o)2 + (sin 65o)2
= cos2 65o + sin2 65o
= 1
[∵ sin2 A + cos2 A = 1]
अत:
sin 25o cos 65o + cos 25o sin 65o
= 1 उत्तर
प्रश्न संख्या (4) सही विकल्प चुनिये और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
प्रश्न संख्या (4) (i) 9 sec2 A – 9 tan2 A =
(A) 0
(B) 9
(C) 8
(D) 0
उत्तर: (B) 9
ब्याख्या
दिया गया है 9 sec2 A – 9 tan2 A
9 को उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि
9(sec2 A – tan 2 A) - - - (i)
अब चूँकि sec2 A = 1 + tan2 A
अत: sec2 A – tan2 A = 1
अत: sec2 A – tan2 A = 1 को समीकरण (i) में रखने पर
9(sec2 A – tan 2 A)
= 9 (1) = 9
अत: विकल्प (B) 9 सही उत्तर है।
प्रश्न संख्या (4)(ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ) =
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
उत्तर: (C) 2
ब्याख्या :
दिया गया है (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ)
= (1 + sin θ/cos θ + 1/cos θ) (1 + cos θ/sin θ – 1/sin θ)
=(cos θ + sin θ + 1/cos θ)(sin θ + cos θ – 1/sin θ)
= [(cos θ + sin θ) + 1][(sin θ + cos θ) – 1]/sin θ cos θ
= (cos θ + sin θ)2 – 12/sin θ cos θ
[∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
= (cos2θ + sin2θ + 2sinθ.cosθ) – 1/sin θ cos θ
= 1 + 2 sin θ . cos θ – 1/sin θ cos θ
[∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 2 sin θ cos θ/sin θ cos θ = 2
अत: विकल्प (C) 2 सही उत्तर है।
प्रश्न संख्या (4) (iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) =
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
उत्तर: (D) cos A
ब्याख्या :
दिया गया है (sec A + tan A)(1 – sin A)
= (1/cos A + sin A/cos A)(1 – sin A)
=(1 + sin A/cos A)(1 – sin A)
= (1 + sin A)(1 – sin A)/cos A
= (1)2 – (sinA)2/cos A
= 1 – sin2 A/cos A
= cos2A/cos A
= cos A
अत: विकल्प (D) cos A सही उत्तर है।
प्रश्न संख्या (4) (iv) 1 + tan2A/1 + cot2A =
(A) sec2A
(B) – 1
(C) cot2A
(D) tan2A
उत्तर: (D) tan2A
ब्याख्या :
दिया गया है 1 + tan2A/1 + cot2A
= sec2A/cosec2A
[∵ 1+tan2A = sec2A
तथा , 1+ cot2A = cosec2A]
= 1/cos2A/1/sin2A
= 1/cos2A × sin2A/1
= sin2A/cos2A
= tan2 A
अत: विकल्प (D) tan2A सही उत्तर है।
Reference: