त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.4 का हल भाग 3
प्रश्न संख्या (5) निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं।
(i) (cosec θ – cot θ)2 = 1 – cos θ/1 + cos θ
हल:
LHS (बायाँ पक्ष) = (cosec θ – cot θ)2
= (1/sin θ – cos θ/sin θ)2
=(1 – cos θ/sin θ)2
=(1 – cos θ)2/sin2 θ
= (1 – cos θ)2/1 – cos2 θ
= (1 – cos θ)2/12 – cos2 θ
= (1 – cos θ) (1 – cos θ)/(1 + cos θ) (1 – cos θ)
= 1 – cos θ/1 + cos θ प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (ii) cos A/1 + sin A + 1 + sin A/cos A = 2 sec A
हल
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = cos A/1 + sin A + 1 + sin A/cos A
= cos2A + (1 + sin A)2/(1+sin A) cos A
=cos2 A + 12 + sin2A + 2sinA/(1 + sin A) cos A
= (cos2A + sin2A) + 1 + 2sin A/(1+sin A) cos A
[∵ cos2A + sin2A = 1]
= 1 + 1 + 2sin A/(1+sin A) cos A
= 2 + 2sin A/(1+sin A) cos A
अंश में से 2 को उभयनिष्ठ लेने पर
= 2 (1 + sin A)/(1 + sin A) cos A
= 2/cos A
= 2 × 1/cos A
= 2 sec A = RHS (दायाँ पक्ष) प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (iii) tan θ/1 – cot θ + cot θ/1 – tan θ = 1 + sec θ cosec θ
[संकेत : व्यंजक को sin θ तथा cos θ के पदों में लिखिए]
हल
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष)
= tan θ/1 – cot θ + cot θ/1 – tan θ
= sin θ/cos θ /1 – cos θ/sin θ + cos θ/sin θ/1 – sin θ/cos θ
= sin θ/cos θ/sin θ – cos θ/sin θ + cos θ/sin θ/cos θ – sin θ/cos θ
= sin θ/cos θ × sin θ/sin θ – cos θ + cos θ/sin θ × cos θ/cos θ – sin θ
= sin2 θ/cos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θ/sinθ (cos θ – sin θ)
= sin2 θ/cos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θ/sinθ (– sin θ + cos θ)
उपरोक्त व्यंजक के दूसरे पद के हर से ऋण (–) को उभनिष्ठ लेने पर
= sin2 θ/cos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θ/– sinθ (sin θ – cos θ)
= sin2 θ/cos θ (sin θ – cos θ) – cos2 θ/ sinθ (sin θ – cos θ)
1/sin θ – cos θ को उभयनिष्ठ लेने पर
= 1/sinθ – cosθ (sin2θ/cosθ – cos2θ/sinθ)
= 1/sinθ – cosθ (sin3 θ – cos3 θ/sin θ cos θ)
= 1/sinθ – cosθ [(sin θ – cos θ) (sin2θ + cos2 θ + sin θ cos θ)/sin θ cos θ]
= sin2θ + cos2 θ + sin θ cos θ/sin θ cos θ
= 1 + sin θ cos θ/sin θ cos θ
[∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 1/sin θ cos θ + sin θ cos θ/sin θ cos θ
= 1/sin θ cos θ + 1
= 1/sin θ × 1/cos θ + 1
= cosec θ sec θ + 1
= sec θ cosec θ + 1
= 1 + sec θ cosec θ प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (iv) 1 + sec A/sec A = sin2 A/1 – cos A
[संकेत : वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग अलग सरल कीजिए]
हल:
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = 1 + sec A/sec A
= 1 + 1/cos A/1/cos A
= cos A + 1/cos A/1/cos A
= cos A + 1/cos A × cos A/1
= cos A + 1
= 1 + cos A
1 – cos A/1 – cos A से गुणा करने पर
= 1 + cos A × 1 – cos A/1 – cos A
= (1 + cos A) (1 – cos A)/1 – cos A
= 12 – cos2 A/1 – cos A
= 1 – cos2 A/1 – cos A
= sin2 A/1 – cos A प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (v) cos A – sin A + 1/cos A + sin A – 1 = cosec A + cot A
हल:
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = cos A – sin A + 1/cos A + sin A – 1
अंश तथा हर को sin A से भाग देने पर हम पाते हैं कि
= cos A – sin A + 1/sinA/cos A + sinA –1/sin A
= cos A/sin A – sin A/sin A + 1/sin A/cos A/sin A + sin A/sin A – 1/sin A
= cot A – 1 + cosec A/cot A + 1 – cosec A
= cot A – (1 – cosec A)/cot A + (1 – cosec A)
cot A – (1 – cosec A)/cot A – (1 – cosec A) गुणा करने पर हम पाते हैं कि
= cot A – (1 – cosec A)/cot A + (1 – cosec A) × cot A – (1 – cosec A)/cot A – (1 – cosec A)
= [ cot A – (1 – cosec A) ]2/(cot A)2 – (1 – cosec A)2
= cot2 A + (1 –cosec A)2 – 2 cot A (1 – cosec A)/cot2 A – (12 + cosec2 A – 2 cosec A)
= cot2 A + 12 + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec A/cot2 A – 1 – cosec2 A + 2 cosec A
= (cot2 A + 1) + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec A/(cot2 A – cosec2 A) – 1 + 2 cosec A
= cosec2 A + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec A/– 1 – 1 + 2 cosec A
[∵ (cot2 A + 1 = cosec2 A) तथा (cot2 A – cosec2 A = –1)]
= 2cosec2 A + 2 cot A cosec A – 2 cosec A – 2 cot A/2 cosec A – 2
= 2 cosec A (cosec A + cot A) – 2 (cosec A + cot A)/2 cosec A – 2
(cosec A + cot A) को उभयनिष्ठ लेने पर
= (cosec A + cot A) (2 cosec A – 2)/2 cosec A – 2
= cosec A + cot A प्रमाणित
Reference: