त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्ना वली 8.4 भाग 4
प्रश्न संख्या (5) (vi) 1 + sin A/1 – sin A = sec A + tan A
हल
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = 1 + sin A/1 – sin A
1 + sin A/1 + sin A से गुणा करने पर हम पाते हैं
= 1 + sin A/1 – sin A × 1 + sinA/1 + sin A
= (1 + sin A)2/12 – sin2A
= (1 + sin A)2/cos2 A
= 1 + sin A/cos A
= 1/cos A + sin A / cos A
= sec A + tan A प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (vii) sin θ – 2 sin3 θ/2 cos3 θ – cos θ = tan θ
हल:
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = sin θ – 2 sin3 θ/2 cos3 θ – cos θ
अंश से sin θ तथा हर से cos θ उभयनिष्ठ लेने पर
= sin θ (1 – 2 sin2 θ)/cos θ (2 cos2 θ –1)
= sin θ (1 – 2 (1 – cos2 θ))/cos θ (2cos2θ – 1)
= sin θ (1 – 2 + 2 cos2 θ)/cos θ (2 cos2θ – 1)
= sin θ (– 1 + 2 cos2 θ)/cos θ (2 cos2θ – 1)
= sin θ (2 cos2 θ – 1)/cos θ (2 cos2 θ – 1)
= sin θ/cos θ
= tan θ प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (viii) (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
हल:
दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= sin2 A + cosec2 A + 2sin A cosec A + cos2 A + sec2 A + 2cosA sec A
= sin2 A + cosec2 A + 2 sin A × 1/sin A + cos2 A + sec2 A + 2 cos A × 1/cos A
= sin2 A + cosec2 A + 2 + cos2 A + sec2 A + 2
= (sin2 A + cos2 A) + 4 + cosec2 A + sec2 A
= 1 + 4 + (1 + cot2 A) + (1 + tan2 A)
[∵ (1 + cot2 A = cosec2 A) तथा (1 + tan2 A = sec2 A)]
= 5 + 1 + cot2 A + 1 + tan2 A
= 5 + 1 + 1 + cot2 A + tan2 A
= 7 + tan2 A + cot2 A प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = 1/tan A + cot A
[संकेत: वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग अलग सरल कीजिए]
हल:
दिया गया है LHS (बाँया पक्ष) = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)
= (1/sin A – sin A) (1/cosA – cos A)
= (1 – sin2 A/sin A) (1 – cos2A/cos A)
= cos2 A/sin A × sin2 A/cos A
= cos A cos A/sin A × sin A sin A/cos A
= cos A sin A
RHS (दाँया पक्ष) = 1/tan A + cot A
= 1/sinA/cosA + cosA/sinA
= 1/sin2 A + cos2 A/cos A sin A
= 1/1/cos A sin A
[∵ sin2 A + cos2 A = 1]
= 1 × (cos A sin A)/1
= cos A sin A
अत: LHS (बाँया पक्ष) = RHS (दाँया पक्ष) प्रमाणित
प्रश्न संख्या (5) (x) (1 + tan2 A/1 + cot2 A) = (1 – tan A/1 – cot A)2 = tan2 A
हल:
दिया गया है LHS (बाँया पक्ष) (1 + tan2 A/1 + cot2 A)
= 1 + tan2 A/ 1 + 1/tan2 A
= 1 + tan2 A/ tan2 A + 1/tan2A
= 1 + tan2 A × tan2 A/1 + tan2 A
= tan2 A
अब दिया गया है मध्य पद
= (1 – tan A/1 – cot A)2
= (1 – tanA/1 – 1/tanA)2
= (1 – tan A / tan A – 1/tan A )2
= (1 – tanA × tan A/tan A – 1)2
= (1 – tan A)2 tan2 A/(tan A – 1)2
= (1 + tan2 A – 2 tan A)(tan2A)/tan2 A + 1 – 2 tan A
= (1 + tan2 A – 2 tan A) (tan2A)/1 + tan2 A – 2 tan A
= tan2 A
अत:
(1 + tan2 A/1 + cot2 A) = (1 – tan A/1 – cot A)2 = tan2 A प्रमाणित
Reference: