त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न 1 से 3 का हल
त्रिकोणमिति दसवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न 1 से 3 का हल
प्रश्न संख्या: (1) Δ ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm, BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल:
मान लिया कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
दिया गया है, ∠B = 90o (अर्थात समकोण है।)
AB = 24 cm
BC = 7 cm
(प्रश्न को हल करने की योजना: सर्वप्रथम दिये गये त्रिभुज की तीसरी भुजा पाइथागोरस प्रमेय से ज्ञात की जायेगी। तत्पश्चात माँगा गया त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।)
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में
(कर्ण) 2 = (लम्ब) 2 + (आधार) 2
⇒ AC2 = BC2 + AB2
= (7 cm) 2 + (24 cm)2
= 49 cm2 + 576 cm2
⇒ AC2 = 625 cm2
⇒ AC = (625 cm)2
⇒ AC = 25 cm
(i) sin A, cos A
अब न्यूनकोण A के लिये
यहाँ
लम्ब (न्यूनकोण A की सम्मुख भुजा) [p]= BC = 7 cm
आधार (न्यूनकोण A की संलग्न भुजा) [b] = AB = 24 cm
तथा, कर्ण (समकोण B की सामने वाली भुजा) [h] = AC = 25 cm
हम जानते हैं कि,
sin A = p/h
⇒ sin A = 7 cm/25 cm
⇒ sin A = 7/25
हम जानते हैं कि
cos A = b/h
⇒ cos A = 24 cm/25 cm
⇒ cos A = 24/25
अत: sin A = 7/25 and cos A = 24/25 उत्तर
(ii) sin C, cos C
यहाँ न्यूनकोण C के लिये
कर्ण [h] (समकोण B की सम्मुख भुजा) = AC = 25 cm (जैसा कि गणना की गई है।)
लम्ब [p] (न्यूनकोण C की सम्मुख भुजा) = AB = 24 cm (प्रश्न के अनुसार)
आधार [b] (न्यूनकोण C की संलग्न भुजा) = BC = 7 cm (प्रश्न के अनुसार)
हम जानते हैं कि
sin C = AB/AC = p/h
⇒ sin C = 24 cm/25 cm
⇒ sin C = 24/25
हम जानते हैं कि
cos C = BC/AC = b/h
⇒ cos C = 7 cm/25 cm
⇒ cos C = 7/25
अत:
sin C = 24/25 and cos C = 7/25 उत्तर
प्रश्न संख्यां: (2) दिये गये चित्र में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(प्रश्न हल करने की योजना: प्रश्न में समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ दी गई है। सर्वप्रथम प्राइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर तीसरी भुजा ज्ञात कर लेंगे। तत्पश्चात माँगा गया त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना करेंगे।)
यहाँ दिया गया है,
∠ Q = 90o अर्थात कोण Q समकोण है।
लम्ब (p) = PQ = 12 cm
कर्ण (h) = PR = 13 cm
अत: आधार (b) = QR =?
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि
(कर्ण) 2 = (लम्ब) 2 + (आधार) 2
⇒ PR2 = PQ2 + QR2
⇒ (13 cm) 2 = (12 cm) 2 + QR2
⇒ 169 cm2 = 144 cm2 + QR2
⇒ QR2 = 169 cm2 – 144 cm2
⇒ QR2 = 25 cm2
⇒ QR = (25 cm)2
⇒ QR = 5 cm
अब न्यूनकोण P के लिये,
लम्ब (p) [न्यूनकोण P की सम्मुख भुजा] = QR = 5 cm (गणना के अनुसार)
आधार (b) [न्यूनकोण P की संलग्न भुजा] = PQ = 12 cm
हम जानते हैं कि
tan P = p/b = QR/QP
⇒ tan P = 5 cm/12 cm
⇒ tan P = 5/12
अब न्यूनकोण R के लिये
लम्ब (p) [न्यूनकोण R की सम्मुख भुजा] = PQ = 12 cm
लम्ब (b) [न्यूनकोण R की संलग्न भुजा] = QR = 5 cm
हम जानते हैं कि
cot R = b/p
⇒ cot R = 5 cm/12
⇒ cot R = 5/12
अत:
tan P – cot R
= 5/12 – 5/12 = 0
⇒ tan P – cot R = 0 Answer
प्रश्न संख्या: (3) यदि sin A = 3/4, तो cos A तथा tan A का मान परिकलित कीजिए।
हल:
[प्रश्न को हल करने की योजना: sin A के लिये त्रिकोणमितीय अनुपात दी गई है। अर्थात समकोण त्रिभुज के दो भुजाओं का अनुपात दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर तीसरी भुजा के अनुपात को ज्ञात कर लेंगे। तत्पश्चात माँगी गई अनुपातों को सूत्र के अनुसार गणना करेंगे।]
मान लिया, ABC एक समकोण त्रिभुज है
जिसमें ∠C = 90o
यहाँ दिया गया है, sin A = 3/4
हम जानते हैं कि
sin A = p/h
अत:
p = BC = 3 तथा
h = AB = 4
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि
(कर्ण) 2 = (लम्ब) 2 + (आधार) 2
⇒ AB2 = BC2 + AC2
⇒ (4)2 = (3) 2 + AC2
⇒ AC2 = 16 – 9
⇒ AC2 = 7
⇒ AC = √7
⇒ b = √7
[∵ यहाँ AC न्यूनकोण A की संलग्न भुजा है, अत: AC दिये गये सम्कोण त्रिभुज के लिए आधार है। ]
अब, हम जानते हैं कि,
cos A = b/h
अत: cos A = √7/4
तथा हम जानते हैं कि,
tan A = p/b
⇒ tan A = 3/√7
अत: cos A = √7/4 तथा tan A = 3/√7 उत्तर
वैकल्पिक विधि (Alternate Method)
दिया गया है sin A = 3/4
हम जानते हैं कि
cos2 A = 1 - sin2 A
sin A का मान रखने पर हम पाते हैं कि
cos2 A = 1 – (3/4)2
⇒ cos2 A = 1 – 9/16
⇒ cos2 A = 16 – 9/16
⇒ cos2 A = 7/16
⇒ cos A = 7/16
⇒ cos A = √7/4
हम जानते हैं कि
tan A = sin A/cos A
sin A तथा cos A का मान रखने पर
tan A = 3/4/√7/4
= 3/4 × 4/√7
⇒ tan A = 3/√7
अत: cos A = √7/4 तथा tan A = 3/√7 उत्तर
Reference: