त्रिकोणमिति का परिचय

एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न 4 से 7 का हल

प्रश्न संख्यां: (4) यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए

हल:

मान लिया कि, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90^o

दिया गया है, 15 cot A = 8

∴ cot A = ⁸/₁₅

हम जानते हैं कि cot A = ^b/_p

⇒ ⁸/₁₅ = ^b/_p

∴ b = 8 k तथा

p = 15 k

जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

कर्ण के लम्बाई की गणना

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²

⇒ h² = p² + b²

कर्ण, लम्ब तथा आधार का मान रखने पर

⇒ AC² = (15k)² +(8k)²

⇒ AC²=225k² + 64k²

⇒ AC²=289k²

∴ AC = 289 k²

⇒ AC = 17k = कर्ण (h)

sin A लिए त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

हम जानते हैं कि

sin A = ^p/_h

अब 'p' तथा 'h' का मान रखने पर हम जानते हैं

sin A = ^{15 k}/_{17 k}

⇒ sin A = ¹⁵/₁₇

उसी तरह

चूँकि sec A = ^h/_b

अब 'h' तथा 'b' का मान रखने पर

⇒ sec A = ^{17 k}/_{8 k}

⇒ sec A = ¹⁷/₈

अत: Sin A = ¹⁵/₁₇ तथा sec A = ¹⁷/₈ उत्तर

वैकल्पिक विधि

दिया गया है, 15 cot A = 8

∴ cot A = ⁸/₁₅

⇒ ¹/_{tan A} = ⁸/₁₅

⇒ tan A = ¹⁵/₈ -----(i)

sec A की गणना

हम जानते हैं कि

sec² A = 1 + tan² A

tan A का मान समीकरण (i) से रखने पर हम पाते हैं कि

sec² A = 1 + (¹⁵/₈)²

⇒ sec² A = 1 + ²²⁵/₆₄

⇒ sec² A = ^{64 + 225}/₆₄

⇒ sec² A = ²⁸⁹/₆₄

⇒ sec A = ²⁸⁹/₆₄

⇒ sec A = ¹⁷/₈

sin A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना जब sec A दिया गया है

यहाँ sec A = ¹⁷/₈

⇒ ¹/_{cos A} = ¹⁷/₈

[∵ sec A = ¹/_cosA]

⇒ cos A = ⁸/₁₇ - - - - (ii)

हम जानते हैं कि

sin² A = 1 – cos² A

After substituting value of cos A from the equation (ii), we get

sin² A = 1 – (⁸/₁₇)²

⇒ sin² A = 1 – ⁶⁴/₂₈₉

⇒ sin² A = ^{289 – 64}/₂₈₉

⇒ sin² A = ²²⁵/₂₈₉

⇒ sin A = ²²⁵/₂₈₉

⇒ sin A = ¹⁵/₁₇

अत: sin A = ¹⁵/₁₇ तथा sec A = ¹⁷/₈ उत्तर

प्रश्न संख्यां: (5) यदि sec θ = ¹³/₁₂, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हल:

[प्रश्न को हल करने की योजना: समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं का अनुपात दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर तीसरी भुजा की गणना करने के पश्चात सभी त्रिकोणमितीय अनुपात को सूत्र की सहायता से आसानी से परिकलित किया जा सकता है।]

दिया गया है, sec θ = ¹³/₁₂

हम जानते हैं कि,

sec θ = ^h/_b

⇒ ^h/_b = ¹³/₁₂

∴ h = 13 k

तथा b = 12 k

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²

⇒ h² = p² + b²

h तथा b का मान रखने पर

⇒ (13k)² = p² + (12k)²

⇒ 169 k² = p² + 144 k²

⇒ p² = 169 k² – 144 k²

⇒ p² = 25 k²

⇒ p = (25k²)

∴ लम्ब (p) = 5 k

अब h = 13 k, p = 5 k तथा 6 = 12 k

sin A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

sin θ = ^{लम्ब(p)}⁄_{कर्ण(h)}

उपरोक्त ब्यंजक में लम्ब (p) तथा कर्ण (h) का मान रखने पर

⇒ sin θ = ^{5 k}⁄_{13 k}

⇒ sin θ = ⁵⁄₁₃ - - - - (i)

cosec A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cosec θ = ^{कर्ण (h)}⁄_{लम्ब (p)}

उपरोक्त ब्यंजक में लम्ब (p) तथा कर्ण (h) का मान रखने पर

⇒ cosec θ = ^13k⁄_5k

⇒ cosec θ = ¹³⁄₅ - - - - (ii)

cos A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cos θ = ^{आधार (b)}⁄_{कर्ण (h)}

उपरोक्त ब्यंजक में आधार (b) तथा कर्ण (h) का मान रखने पर

cos θ = ^{12 k}⁄_{13 k}

⇒ cos θ = ¹²⁄₁₃

tan A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

हम जानते हैं कि

tan θ = ^{लम्ब (p)}⁄_{आधार (b)}

उपरोक्त ब्यंजक में लम्ब (p) तथा आधार (b) का मान रखने पर

tan θ = ^{5 k}⁄_{12 k}

⇒ tan θ = ⁵⁄₁₂

cot A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cot θ = ^{आधार (b)}⁄_{लम्ब (p)}

उपरोक्त ब्यंजक में 'आधार (b)' तथा 'लम्ब (p)' का मान रखने पर

cot θ = ^{12 k}⁄_{5 k}

⇒ cot θ = ¹²⁄₅

अत:

sin θ = ⁵⁄₁₃, cosec θ = ¹³⁄₅, cos θ = ¹²⁄₁₃, tan θ = ⁵⁄₁₂, and cot θ = ¹²⁄₅ उत्तर

"प्रश्न sec θ = ¹³⁄₁₂, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित" करने की वैकल्पिक विधि

दिया गया है sec θ = ¹³⁄₁₂

cos θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cos θ = ¹⁄ _{sec θ}

sec θ का मान रखने पर

⇒ cos θ = ¹⁄_¹³/12

⇒ cos θ = ¹²⁄₃ - - - -(i)

sin θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

sin² θ = 1 – cos² θ

समीकरण (i) से cos θ का मान रखने पर

⇒ sin² θ = 1 – (¹²⁄₁₃)²

⇒ sin² θ = 1 – ¹⁴⁴⁄₁₆₉

⇒ sin² θ = ^{169 – 144}⁄₁₆₉

⇒ sin² θ = ²⁵⁄₁₆₉

⇒ sin θ = ²⁵⁄₁₆₉

⇒ sin θ = 5/13 - - - -(ii)

cosec θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cosec θ = ¹⁄_{sin θ}

समीकरण (ii) से sin θ का मान रखने पर हम पाते हैं कि

cosec θ = ¹⁄ _⁵/13

⇒ cosec θ = ¹³⁄₅ - - - - (iii)

tan θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

tan θ = ^{sin θ}⁄_{cos θ}

समीकरण (i) तथा (ii) से sin θ और cos θ का मान रखने पर

tan θ = ^5/₁₃/_¹²/13

tan θ = ⁵⁄₁₃ × ¹³⁄₁₂

⇒ tan θ = ⁵⁄₁₂ - - - (iv)

cot θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

चूँकि

cot θ = ¹⁄_{tan θ}

समीकरण (iv) से tan θ का मान रखने पर

cot θ = ¹⁄_⁵/12

⇒ cot θ = ¹²⁄₅

अत:

sin θ = ⁵⁄₁₃, cosec θ = ¹³⁄₅, cos θ = ¹²⁄₁₃, tan θ = ⁵⁄₁₂, and cot θ = ¹²⁄₅ उत्तर

प्रश्न संख्यां: (6) यदि ∠ A तथा ∠ B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠ A = ∠ B

हल:

एक समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण जिसपर विचार किया जाना है के लिए

न्यूनकोण की संलग्न भुजा को आधार (b) कहा जाता है।

तथा उस न्यूनकोण के सम्मुख की भुजा को लम्ब (p) कहा जाता है।

तथा समकोण (90^o) की सम्मुख भुजा को कर्ण (h) कहा जाता है।

मान लिया कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

इस त्रिभुज में समकोण (90^o) की सम्मुख भुजा AB है।

अत: AB = कर्ण (h)

तथा न्यूनकोण ∠ A के लिए

∠ A की संलग्न भुज = आधार = AC

तथा ∠ A के सम्मुख की भुजा = लम्ब = BC

अत: cos A = ^{आधार (b)}/_{कर्ण(h)}

⇒ cos A = ^AC/_AB ------ (i)

अब न्यून ∠ B के लिए

∠ B की संलग्न भुजा = आधार (b) = BC

तथा ∠ B के सम्मुख की भुजा = लम्ब (p) = AC

अत: cos B = ^{आधार (b)}/_{कर्ण (h)}

⇒ cos B = ^BC/_AB -----(ii)

अब प्रश्न के अनुसार,

cos A – cos B

∴ cos A तथा cos B का मान समीकरण (i) तथा (ii) से रखने पर हम पाते हैं कि

^AC/_AB = ^BC/_AB

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

⇒ AC = ^{BC × AB}/_AB

⇒ AC = BC

चूँकि यहाँ त्रिभुज की दो भुजाएँ AC तथा BC बराबर हैं अत: दिया गया त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज है।

तथा एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में समकोण के अतिरिक्त दोनों न्यूनकोण आपस में बराबर होते हैं।

अत: दिये गये त्रिभुज में,

∠ A = ∠ B प्रमाणित

प्रश्न संख्यां: (7) यदि cot θ = ⁷/₈, तो

(i) ^{(1 + sin θ ) (1 – sin θ )}/_{(1 + cos θ ) (1 – cos θ)}

(ii) cot² θ का मान निकालिए?

हल:

दिया गया है, cot θ = ⁷/₈

चूँकि cot θ = ^{आधार (b)}/_{लम्ब (p)}

इसमें cot θ का मान रखने पर

⇒ ⁷/₈ = ^b/_p

∴ b = 7 k

तथा p = 8 k

अब, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हम जानते हैं कि

[कर्ण (h)]² = [लम्ब (p)]² + [आधार (b)]²

⇒ h² = p² + b²

⇒ h² = (8 k)² + (7 k)²

⇒ h² = 64 k² + 49 k²

⇒ h² = 113k²

⇒ कर्ण (h) = √113 k

sinθ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

हम जानते हैं कि

sin θ = ^{लम्ब (p)}/_{कर्ण (h)}

'लम्ब (p)' तथा 'कर्ण (h)' का मान रखने पर

sin θ = ^8k/_{√113 k}

⇒ sin θ = ⁸/_√113 ------ (i)

cos θ के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना

हम जानते हैं कि

cos θ = ^{आधार (b)}/_{कर्ण (h)}

'आधार (b)' तथा 'कर्ण (h)' का मान रखने पर

cos θ = ^{7 k}/_{√113 k}

⇒ cos θ = ⁷/_√113 --------(ii)

अब प्रश्न संख्या 7 का हल

हल

= ^{1 – sin2 θ}/_{1 – cos² θ}

[∵ (a+b) (a-b) = a² – b²]

समीकरण (i) तथा (ii) से sin θ तथा cos θ का मान रखने पर

= ^{1 – (8/_√113)2}/_{1 – (⁷/√113)²}

= ^{1 – 64/₁₁₃}/_{1 – ⁴⁹/113}

= ^{113 – 64 /₁₁₃}/_{^{113 – 49} /113}

= ^49/₁₁₃/_⁶⁴/113

= ⁴⁹/₁₁₃ × ¹¹³/₆₄

= ⁴⁹/₆₄ उत्तर

वैकल्पिक विधि

प्रश्न संख्या (7) (i) ^{(1 + sin θ)(1 – sin θ)}/_{(1 + cos θ )(1 – cos θ)} को हल करने की वैकल्पिक विधि

= ^{1 – sin2 θ}/_{1 – cos² θ}

[∵ (a+b) (a-b) = a² – b²]

= ^cos2θ/_sin²θ

[∵ 1 – sin²θ = cos²θ तथा 1 – cos²θ = sin²θ]

⇒ cot²θ

[∵ ^cos2θ/_(sin²θ = cot²θ ]

प्रश्न से cot θ = 7/8 मान रखने पर

⇒ (7/8)² = 49/64

अत:

^{(1 + sin θ)(1-sin θ )}/_{(1+cos θ )(1-cos θ )} = ⁴⁹/₆₄ उत्तर

प्रश्न संख्या (7) (ii) cot²θ का हल

प्रश्न से cot θ = 7/8 का मान रखने पर

⇒ (7/8)² = 49/64

अत: cot²θ = ⁴⁹/₆₄ उत्तर

MCQs Test Science

10Math-hindi-home

10-Math-home

Reference:

---

---