त्रिकोणमिति का परिचय
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.1 प्रश्न 8 से 11 का हल
प्रश्न संख्यां: (8) यदि 3cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि 1 – tan2A/1 + tan2A = cos2A – sin2A है या नहीं।
हल:
दिया गया है, 3 cot A = 4
⇒ cot A = 4/3 ----- (i)
चूँकि cot A = b/p
अब cot A का मान समीकरण (i) से रखने पर
b/p = 4/3
अत: b = 4 k तथा p = 3 k
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
(कर्ण)2 = (लम्ब)2 + (आधार)2
b (आधार) तथा p (लम्ब) का मान रखने पर
(कर्ण)2 = (3 k)2 + (4 k)2
⇒ (कर्ण)2 = 9 k 2 + 16 k2
⇒ (कर्ण)2 =25 k2
⇒ कर्ण (h) = 25 k2
⇒ कर्ण (h) = 5 k
अब आधार (b) = 4 k, लम्ब (p) = 3 k तथा कर्ण (h) = 5 k
tan A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि tan A = लम्ब (p)/आधार (b)
p (लम्ब) तथा b (आधार) का मान रखने पर
tan A = 3 k/4 k
⇒ tan A = 3/4 - - - - - (ii)
cos A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cos A = आधार (b)/कर्ण (h)
उपरोक्त ब्यंजक में b(आधार) तथा h (कर्ण ) का मान रखने पर
cos A = 4 k/5 k
⇒ cos A = 4/5 - - - - - (iii)
sin A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि sin A = लम्ब (p)/कर्ण (h)
p(लम्ब) तथा h (कर्ण) का मान रखने पर
sin A = 3 k/5 k
⇒ sin A = 3/5 - - - - - (iv)
अब बायाँ पक्ष = 1 – tan2A/1 + tan2A
समीकरण (ii) से tan A का मान रखने पर
1 – (3/4)2/1 + (3/4)2
= 1 – 9/16/ 1 + 9/16
= 16 – 9/16/16 + 9/16
= 7/16/25/16
= 7/16 × 16/25
⇒ बायाँ पक्ष = 7/25
अब दायाँ पक्ष = cos2A – sin2A
समीकरण (iii) तथा (iv) से cos A तथा sin A मान रखने पर
=(4/5)2 – (3/5)2
= 16/25 – 9/25
= 16 – 9/25
⇒ दायाँ पक्ष (RHS) = 7/25
अत: बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS) प्रमाणित
अर्थात 1 – tan2A/1 + tan2A = cos2A – sin2A प्रमाणित
प्रश्न संख्या 8 को हल करने की वैकल्पिक विधि
प्रश्न यदि 3cot A = 4, तो जाँच करें कि 1 – tan2A/1 + tan2A = cos2A – sin2A होता है या नहीं को हल करने की वैकल्पिक विधि
दिया गया है, 3 cot A = 4
∴ cot A = 4/3 - - - - - (i)
cot A के मान के उपयोग से tan A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि tan A = 1/cot A
समीकरण (i) से cot A का मान रखने पर
tan A = 1/4/3
⇒ tan A = 3/4 - - - - (ii)
cot A के मान के उपयोग से cosec A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cot2 A = cosec2A – 1
समीकरण (i) से cot A का मान रखने पर
(4/3)2 = cosec2A – 1
⇒ cosec2A =(4/3)2 + 1
⇒ cosec2A = 16/9 + 1
⇒ cosec2A = 16 + 9/9
⇒ cosec2 A = 25/9
⇒ cosec A = 25/9
⇒ cosec A = 5/3
cosec A के मान के उपयोग से sin A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि sin A = 1/cosec A
⇒ sin A = 1/5/3
⇒ sin A = 3/5 - - - - - (iii)
sin A के मान के उपयोग से cos A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cos2 A = 1 – sin2A
समीकरण (iii) से sin A का मान रखने पर
cos2 A = 1 – (3/5)2
⇒ cos2 A = 1 – 9/25
⇒ cos2A = 25 – 9/25
⇒ cos A = 16/25
⇒ cos A = 4/5 - - - - - (iv)
अब बायाँ पक्ष (LHS) = 1 – tan2A/1 + tan2A
समीकरण (ii) से tan A का मान रखने पर
1 – (3/4)2/1 + (3/4)2
= 1 – 9/16/ 1 + 9/16
= 16 – 9/16/16 + 9/16
= 7/16/25/16
= 7/16 × 16/25
⇒ बायाँ पक्ष (LHS) = 7/25
अब दायाँ पक्ष (RHS) = cos2A – sin2A
समीकरण (iii) तथा (iv) से cos A और sin A का मान रखने पर
=(4/5)2 – (3/5)2
= 16/25 – 9/25
= 16 – 9/25
⇒ दायाँ पक्ष (RHS) = 7/25
अत: बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS) प्रमाणित
अत: 1 – tan2A/1 + tan2A = cos2A – sin2A प्रमाणित
प्रश्न संख्यां: (9) त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A . cos C + cos A . sin C
(ii) cos A . cos C – sin A . sin C
हल:
मान लिया कि Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90o
यहाँ चूँकि न्यून ∠A का विचार किया जाना है अत: न्यून ∠ A के लिए
समकोण ∠ B के सम्मुख की भुजा = AC = कर्ण (h)
न्यूनकोण ∠ A के सम्मुख की भुजा = BC = लम्ब (p)
तथा न्यूनकोण ∠ A की संलग्न भुजा = AB = आधार (b)
दिया गया है, tan A = 1/√3
चूँकि tan A = लम्ब (p)/आधार (b)
अत: tan A = लम्ब (p)/आधार (b) = 1/3
∴ लम्ब (p) = BC = k
तथा आधार (b) = AB = √3 k
कर्ण के लम्बाई की गणना
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
(कर्ण)2 = (लम्ब)2 + (आधार)2
लम्ब (p) तथा आधार (b) के मान को रखने पर
⇒ [कर्ण (h)]2 = k2 + (√3 k)2
⇒ [कर्ण ( h)]2 = k2 + 3 k2
⇒ कर्ण (h) = 4 k2
⇒ कर्ण (h) = AC = 2 k
tanA के मान का उपयोग कर sinA के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि sin A = BC/AC = लम्ब (p)/कर्ण (h)
लम्ब (p) तथा कर्ण (h) का मान रखने पर
sin A = k/2 k
⇒ sin A = 1/2 - - - - - (i)
tanA के मान का उपयोग कर cos A के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cos A = AB/AC
आधार(b) तथा कर्ण(h) के मान को रखने पर
cos A = √3 k/2 k
⇒ cos A = √3/2 - - - - - (ii)
दिये गये त्रिभुज Δ ABC, में न्यूनकोण ∠ C के लिए
समकोण ∠ B के सम्मुख की भुजा = AC = कर्ण (h) = 2k
न्यूनकोण ∠ C के सम्मुख की भुजा = AB = लम्ब (p) = 3k
न्यूनकोण ∠ C की संलग्न भुजा = BC = आधार (b) = k
दिये गये त्रिभुज ABC के मान का उपयोग कर sin C के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि sin C = लम्ब (p)/कर्ण (h)
⇒ sin C = AB/AC
AB तथा AC का मान रखने पर
sin C = √3 k/2 k
⇒ sin C = √3/2 - - - - - (iii)
दिये गये त्रिभुज ABC के मान का उपयोग कर cos C के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cos C = आधार (b)/कर्ण (h)
BC/AC
आधार (BC) तथा कर्ण (AC) का मान रखने पर
cos C = k/2 k
⇒ cos C = 1/2 - - - - (iv)
अब
प्रश्न संख्या (9) (i) sin A . cos C + cos A . sin C
समीकरण (i), (ii), (iii), तथा (iv) से sin A, cos A, sin C तथा cos C के मानों को रखने पर हम पाते हैं कि
1/2 × 1/2 + √3/2 × √3/2
= 1/4 + 3/4
= 1 + 3/4
= 1/4
अत: sin A . cos C + cos A . sin C = 1/4 उत्तर
प्रश्न संख्या (9) (ii) cos A . cos C – sin A . sin C
समीकरण (i), (ii), (iii), तथा (iv) से sin A, cos A, sin C और cos C के मान को रखने पर हम पाते हैं कि
√3/2 × 1/2 – 1/2 × √3/2
= √3/4 – √3/4
= 0
अत: cos A . cos C – sin A . sin C = 0 उत्तर
प्रश्न संख्यां: (10) Δ PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि PQR दिया गया त्रिभुज है जिसमें
∠ Q = 90o (प्रश्न के अनुसार)
अत: इस त्रिभुज PQR में न्यूनकोण ∠ P के लिए
समकोण ∠Q के सम्मुख की भुजा = PR = कर्ण (h)
न्यूनकोण ∠P की संलग्न भुजा = आधार (b) = PQ
न्यूनकोण ∠ P के सम्मुख की भुजा = लम्ब (p)
प्रश्न के अनुसार
∠ Q = 90o
तथा PQ = आधार (b) 5 cm
तथा PR + QR = 25 cm
∴ QR = लम्ब (p) = 25 cm – PR - - - - (i)
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
(कर्ण)2 = (लम्ब )2 + (आधार )2
⇒ PR2 = QR2 + PQ2
⇒ PR2 = (25 cm – PR)2 + (5 cm)2
[∵ समीकर (i) से QR = 25 – PR]
⇒ PR2 = 625 cm2 + PR2 – 2 × 25 cm × PR cm + 25 cm2
⇒ PR2 = 625 cm2 + PR2 – PR × 50 cm + 25 cm2
⇒ PR2 = 650 cm2 + PR2 – PR × 50 cm
⇒ PR2 – PR2 = 650 cm2 – PR × 50 cm
⇒ 0 = 650 cm2 – PR × 50 cm
⇒ PR × 50 cm = 650 cm2
⇒ PR = 650 cm2/50 cm
⇒ PR = 13 cm
समीकरण (i) में PR का मान रखने पर
QR = 25 cm – 13 cm
⇒ QR = 12 cm
अत:
PQ = आधार (b) = 5 cm,
QR = लम्ब (p) = 12 cm,
तथा PR = कर्ण (h) = 13 cm
समकोण त्रिभुज PQR के मान के आधार पर sinP के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि sin P = लम्ब (p)/कर्ण (h)
⇒ sin P = QR/PR
QR तथा PR का मान रखने पर
sin P = 12 cm/13 cm
⇒ sin P = 12/13
समकोण त्रिभुज PQR के मान के आधार पर cosP के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि cos P = आधार (b)/कर्ण (h)
⇒ cos P = PQ/PR
PQ तथा PR के मान को रखने पर
cos P = 5 cm/13 cm
⇒ cos P = 5/13
समकोण त्रिभुज PQR के मान के आधार पर tanP के त्रिकोणमितीय अनुपात की गणना
चूँकि tan P = लम्ब (p)/आधार (b)
⇒ tan P = QR/PQ
QR तथा PQ के मान को रखने पर हम पाते हैं कि
tan P = 12 cm/5 cm
⇒ tan P = 12/5
Thus, sin P = 12/13, cos P = 5/13 तथा tan P = 12/5 उत्तर
प्रश्न संख्यां : (11) बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
उत्तर : असत्य
ब्याख्या: tan 45o का मान 1 के बराबर है। अत: यह कथन कि " tan A का मान सदैव 1 से कम होता है" असत्य है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
उत्तर सत्य
ब्याख्या
चूँकि sec A = h/b
यहाँ दिया गया है, sec A = 12/5
अत: sec A = 12/5 = h/b
अत: h = 12 k तथा b = 5 k
पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि,
h2 = p2 + b2
⇒ 12 k2 = p2 + 5 k2
⇒ p2 = 144 k2 – 25 k2
⇒ p2 = 119 k2
⇒ p2 = 119 k2
⇒ p= 10.9
चूँकि यहाँ कर्ण (12) तीनों भुजाओं में सबसे बड़ा है तथा अन्य दो भुजाओं का योग कर्ण से बड़ा है, अत: दिया गया त्रिभुज का अस्तित्व है।
अत: कथन " कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5 " सत्य है।
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
उत्तर : गलत
ब्याख्या: "cos A" कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप है, न कि कोण A के cosecant का। कोण A के cosecant का संक्षिप्त रूप "cosec A" है।
अत: कथन "cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।" गलत है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
उत्तर गलत
ब्याख्या : "cot A" कोण A का cotangent है, न कि cot और A का गुणनफल । अत: कथन " cot A, cot और A का गुणनफल होता है।" गलत है।
(v) किसी भी कोण θ के लिये sin θ = 4/3
उत्तर: गलत
ब्याख्या : किसी भी कोण θ के लिये sin θ का मान शून्य तथा 1 के बीच होता है। जबकि यहाँ sin θ = 4/3 = 1.33 है, जो कि 1 से अधिक है। अत: कथन " किसी भी कोण θ के लिये sin θ = 4/3 " गलत है।
Reference: