अनुपात और समानुपात
सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए
किसी संख्या को दिये गये अनुपात में विभाजित करना
अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (1) एक संख्या 220 को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करें।
हल
दिया गया अनुपात = 2 : 3
तथा संख्या = 220
तो इस दिये गये अनुपात में संख्या का विभाजन = ?
चूँकि दिया गया अनुपात = 2 : 3
अत: आनुपातिक योग = 2 + 3 = 5
अत: पहली संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × पहला अनुपात
= 220/5 × 2
= 44 × 2 = 88
तथा दूसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × दूसरा अनुपात
= 220/5 × 3
= 44 × 3 = 132
अत: पहली संख्या = 88 और दूसरी संख्या = 132 उत्तर
बीजगणितीय विधि द्वारा दी गयी संख्या 220 को 2:3 के अनुपात में विभाजित करना
दिया गया अनुपात = 2 : 3
तथा दी गयी संख्या = 220
मान लिया कि दी गयी संख्या 2a और 3a हैं।
अत: दी गयी संख्या = 2 a + 3 a = 5a
⇒ 220 = 5 a
⇒ 5 a = 220
∴ a = 220 44/5
∴ a = 44
अत: पहली संख्या = 2a
= 2 × 44 = 88
[∵ a = 44 जैसा कि ऊपर गणना की गयी है।]
उसी तरह दूसरी संख्या = 3 a
= 3 × 44 = 132
अत: पहली संख्या = 88 तथा दूसरी संख्या = 132 उत्तर
अनुपात और समानुपात के प्रश्नो के उत्तर की जाँच
पहली संख्या + दूसरी संख्या
= 88 + 132 = 220 प्रमाणित
तथा दोनों का अनुपात = 88 : 132
हम जानते हैं कि किसी भी अनुपात के प्रत्येक पद में एक ही संख्या से गुणा करने या भाग देने पर अनुपात के फल में कोई अंतर नहीं होता है।
तथा दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जिससे वह सभी अंक विभाजित होते हैं।
यहाँ 88 और 132 का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 44
अत: अनुपात के दोनों पदों अर्थात 88 और 132 में 44 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
= 88/44 : 132/44
= 2 : 3 प्रमाणित
अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (2) एक संख्या 200 को 3 : 5 के अनुपात में विभाजित करें।
हल
दिया गया अनुपात = 3 : 5
तथा संख्या = 200
तो इस दिये गये अनुपात में संख्या का विभाजन = ?
चूँकि दिया गया अनुपात = 3 : 5
अत: आनुपातिक योग = 3 + 5 = 8
अत: पहली संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × पहला अनुपात
= 200/8 × 3
= 25 × 3 = 75
तथा दूसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × दूसरा अनुपात
= 200/8 × 5
= 25 × 5 = 125
अत: पहली संख्या = 75 और दूसरी संख्या = 125 उत्तर
अनुपात और समानुपात के प्रश्नो के उत्तर की जाँच
पहली संख्या + दूसरी संख्या
= 75 + 125 = 200 प्रमाणित
तथा दोनों का अनुपात = 75 : 125
हम जानते हैं कि किसी भी अनुपात के प्रत्येक पद में एक ही संख्या से गुणा करने या भाग देने पर अनुपात के फल में कोई अंतर नहीं होता है।
तथा दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जिससे वह सभी अंक विभाजित होते हैं।
यहाँ 75 और 125 का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 25
अत: अनुपात के दोनों पदों अर्थात 75 और 125 में 25 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
= 75/25 : 125/25
= 3: 5 प्रमाणित
बीजगणितीय विधि द्वारा दी गयी संख्या 200 को 3 : 5 के अनुपात में विभाजित करना
दिया गया है,
संख्या = 200
तथा अनुपात = 3 : 5
मान लिया कि दी गयी पहली संख्या = 3 a
और दूसरी संख्या = 5a
अत: पहली संख्या + दूसरी संख्या = दी गयी संख्या
⇒ 3 a + 5 a = 200
⇒ 8 a = 200
⇒ a = 200/8
⇒ a = 25 - - - - (i)
अत: पहली संख्या = 3 a
समीकरण (i) से a = 25 रखने पर
⇒ पहली संख्या = 3 × 25 = 75
उसी तथा दूसरी संख्या = 5 a
समीकरण (i) से a = 25 रखने पर
⇒ दूसरी संख्या = 5 × 25 = 125
अत: पहली संख्या = 75 तथा दूसरी संख्या = 125 उत्तर
अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (3) एक संख्या 560 को 3 : 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करें।
हल
दिया गया अनुपात = 3 : 5 : 6
तथा संख्या = 560
तो इस दिये गये अनुपात में संख्या का विभाजन = ?
चूँकि दिया गया अनुपात = 3 : 5 : 6
अत: आनुपातिक योग = 3 + 5 + 6 = 14
अत: पहली संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × पहला अनुपात
= 560/14 × 3
= 40 × 3 = 120
तथा दूसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × दूसरा अनुपात
= 560/14 × 15
= 40 × 5 = 200
तथा तीसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × तीसरा अनुपात
= 560/14 × 6
= 40 × 6 = 240
अत: पहली संख्या = 120, दूसरी संख्या = 200 और तीसरी संख्या = 240 उत्तर
अनुपात और समानुपात के प्रश्नो के उत्तर की जाँच
पहली संख्या + दूसरी संख्या + तीसरी संख्या
= 120 + 200 + 240 = 560 प्रमाणित
तथा दोनों का अनुपात = 120 : 200 : 240
हम जानते हैं कि किसी भी अनुपात के प्रत्येक पद में एक ही संख्या से गुणा करने या भाग देने पर अनुपात के फल में कोई अंतर नहीं होता है।
तथा दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जिससे वह सभी अंक विभाजित होते हैं।
यहाँ 120 और 200 और 240 का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 40
अत: अनुपात के दोनों पदों अर्थात 120, 200 और 240 में 40 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
= 120/40 : 200/40 : 240/40
= 3: 5 : 6 प्रमाणित
बीजगणितीय विधि द्वारा दी गयी संख्या 560 को 3 : 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करना
दिया गया है,
संख्या = 560
तथा अनुपात = 3 : 5 : 6
मान लिया कि दी गयी पहली संख्या = 3 a
और दूसरी संख्या = 5 a
तथा तीसरी संख्या = 6 a
अत: पहली संख्या + दूसरी संख्या + तीसरी संख्या = दी गयी संख्या
⇒ 3 a + 5 a + 6 a = 560
⇒ 14 a = 560
⇒ a = 560 40/14
⇒ a = 40 - - - - (i)
अत: पहली संख्या = 3 a
समीकरण (i) से a = 40 रखने पर
⇒ पहली संख्या = 3 × 40 = 120
उसी तथा दूसरी संख्या = 5 a
समीकरण (i) से a = 40 रखने पर
⇒ दूसरी संख्या = 5 × 40 = 200
उसी तथा तीसरी संख्या = 6 a
समीकरण (i) से a = 40 रखने पर
⇒ तथा तीसरी संख्या = 6 × 40 = 240
अत: पहली संख्या = 120 तथा दूसरी संख्या = 200 तथा तीसरी संख्या = 240उत्तर
Reference: