अनुपात और समानुपात
सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए
किसी संख्या को दिये गये अनुपात में विभाजित करना: भाग 2
अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (4) एक संख्या 189 को 6 : 7 : 8 के अनुपात में विभाजित करें।
हल
दिया गया अनुपात = 6 : 7 : 8
तथा संख्या = 189
तो इस दिये गये अनुपात में संख्या का विभाजन = ?
चूँकि दिया गया अनुपात = 6 : 7 : 8
अत: आनुपातिक योग = 6 + 7 + 8 = 21
अत: पहली संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × पहला अनुपात
= 189/21 × 6
= 9 × 6 = 54
तथा दूसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × दूसरा अनुपात
= 189/21 × 7
= 9 × 7 = 63
तथा तीसरी संख्या = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × तीसरा अनुपात
= 189/21 × 8
= 9 × 8 = 72
अत: पहली संख्या = 54, दूसरी संख्या = 63 और तीसरी संख्या = 72 उत्तर
अनुपात और समानुपात के प्रश्नो के उत्तर की जाँच
पहली संख्या + दूसरी संख्या + तीसरी संख्या
= 54 + 63 + 72 = 189 प्रमाणित
तथा दोनों का अनुपात = 54 : 63 : 72
हम जानते हैं कि किसी भी अनुपात के प्रत्येक पद में एक ही संख्या से गुणा करने या भाग देने पर अनुपात के फल में कोई अंतर नहीं होता है।
तथा दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जिससे वह सभी अंक विभाजित होते हैं।
यहाँ 54 और 63 और 72 का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 25
अत: अनुपात के दोनों पदों अर्थात 54 और 63 और 72 में 9 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
= 54/9 : 63/9 : 72/9
= 6 : 7 : 8 प्रमाणित
बीजगणितीय विधि द्वारा दी गयी संख्या 189 को 6 : 7 : 8 के अनुपात में विभाजित करना
दिया गया है,
संख्या = 189
तथा अनुपात = 6 : 7 : 8
मान लिया कि दी गयी पहली संख्या = 6 a
और दूसरी संख्या = 7 a
तथा तीसरी संख्या = 8 a
अत: पहली संख्या + दूसरी संख्या + तीसरी संख्या = दी गयी संख्या
⇒ 6 a + 7 a + 8 a = 189
⇒ 21 a = 189
⇒ a = 189 21/14
⇒ a = 9 - - - - (i)
अत: पहली संख्या = 6 a
समीकरण (i) से a = 9 रखने पर
⇒ पहली संख्या = 6 × 9 = 54
उसी तथा दूसरी संख्या = 7 a
समीकरण (i) से a = 9 रखने पर
⇒ दूसरी संख्या = 7 × 7 = 63
उसी तथा तीसरी संख्या = 8 a
समीकरण (i) से a = 9 रखने पर
⇒ तथा तीसरी संख्या = 8 × 9 = 72
अत: पहली संख्या = 54 तथा दूसरी संख्या = 63 तथा तीसरी संख्या = 72 उत्तर
अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (5) एक व्यक्ति के पास कुल 910000 रूपये हैं जिसे वह अपने चार बेटों A, B, C और D के बीच क्रमश: 3 : 5 : 7 : 11 के अनुपात में बाँटना चाहता है, तो प्रत्येक को कितना हिस्सा मिलेगा?
हल
A, B, C और D को क्रमश: दिया गया अनुपात = 3 : 5 : 7 : 11
तथा कुल धन = ₹910000
तो इस दिये गये अनुपात में प्रत्येक का हिस्सा = ?
चूँकि A, B, C और D को दिया गया अनुपात क्रमश: = 3 : 5 : 7 : 11
अत: आनुपातिक योग = 3 + 5 + 7 + 11 = 26
अत: A का भाग = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × पहला अनुपात
= 910000/26 × 3
= 35000 × 3 = 105000
तथा B का भाग = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × दूसरा अनुपात
= 910000/26 × 5
= 35000 × 5 = 175000
तथा C का भाग = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × तीसरा अनुपात
= 910000/26 × 7
= 35000 × 7 = 245000
तथा D का भाग = दी गयी संख्या/आनुपातिक योग × चौथा अनुपात
= 910000/26 × 11
= 35000 × 11 = 385000
अत: A का भाग = ₹105000, B का भाग = ₹175000, C का भाग = ₹245000 तथा D का भाग = ₹385000 उत्तर
अनुपात और समानुपात के प्रश्नो के उत्तर की जाँच
A का भाग + B का भाग + C का भाग + D का भाग
= ₹105000 + ₹175000 + ₹245000 + ₹385000 = ₹910000 प्रमाणित
बीजगणितीय विधि द्वारा 910000 रूपये को A, B, C तथा D के बीच क्रमश: 3 : 5 : 7 : 11 के अनुपात में बाँटना
दिया गया है,
कुल रूपया = 910000
तथा A, B, C तथा D के बीच रूपये बाँटने का अनुपत = क्रमश: 3 : 5 : 7 : 11
मान लिया कि A को मिलने वाला रूपया = 3 a
B को मिलने वाला रूपया = 5 a
C को मिलने वाला रूपया = 7 a
तथा D को मिलने वाला रूपया = 11 a
अत: A को मिलने वाला रूपया + B को मिलने वाला रूपया + C को मिलने वाला रूपया + D को मिलने वाला रूपया = कुल रूपया
⇒ 3a + 5a + 7a + 11a = 910000
⇒ 26 a = 910000
⇒ a = 910000 35000/26
⇒ a = 35000 - - - - (i)
अत: A को मिलने वाला रूपया = 3 a
समीकरण (i) से a = 35000 रखने पर
⇒ A को मिलने वाला रूपया = 3 × 35000 = 105000
उसी तरह ,
B को मिलने वाला रूपया = 5 a
समीकरण (i) से a = 35000 रखने पर
⇒ B को मिलने वाला रूपया = 5 × 35000 = 175000
उसी प्रकार, C को मिलने वाला रूपया = 7 a
समीकरण (i) से a = 35000 रखने पर
⇒ C को मिलने वाला रूपया = 7 × 350000 = 245000
उसी प्रकार, D को मिलने वाला रूपया = 11 a
समीकरण (i) से a = 35000 रखने पर
⇒ D को मिलने वाला रूपया = 11 × 350000 = 385000
अत: A का भाग = ₹105000, B का भाग = ₹175000, C का भाग = ₹245000 तथा D का भाग = ₹385000 उत्तर
Reference: