औसत

सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए

औसत से संबंधित प्रश्न एवं उनके हल

औसत की गणना के नियम

नियम (1) दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

नियम (2) दिये गये निरीक्षणों का औसत = ^{किये गये निरीक्षणों का योग}/_{किये गये निरीक्षणों की संख्या}

नियम (3) औसत गति की गणना

मान लिया कि एक व्यक्ति एक दूरी को 𝓍 km/h की गति से तय करता है तथा फिर उसी दूरी को 𝓎 km/h की गति से तय करता है, तो

औसत गति = ^{2 𝓍 𝓎}⁄_{𝓍 + 𝓎} km/h

(4) n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = ^{n (n + 1)}⁄₂

(5) संख्याओं की वैसी सूची जिसमें दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है, समांतर श्रेणी कहलाती है।

(a) समांतर श्रेणी के n पदों का योग (S_n)

= ⁿ⁄₂ [2a+(n-1)d]

जहाँ, n = पदों की संख्या,

a = प्रथम पद

तथा, d = दो क्रमागत पदों का अंतर, i.e. सामान्य अंतर

(b) समांतर श्रेणी के n पदों का योग (S_n)

= ⁿ⁄₂ (a + ℓ)

जहाँ, n = समांतर श्रेणी के पदों की संख्या,

a = समांतर श्रेणी का प्रथम पद

तथा, ℓ = समांतर श्रेणी का अंतिम पद

(c) t_n = a + (n – 1) d

जहाँ, n = समांतर श्रेणी के पदों की संख्या

a = समांतर श्रेणी का प्रथम पद

d = दो क्रमागत पदों का अंतर

तथा, t_n = समांतर श्रेणी का nवां पद

(1) 1, 2 और 3 का औसत निकालें

हल :

हम जानते हैं कि,

दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

यहाँ दी गई संख्याओं का योग = 1 + 2 + 3 = 6

तथा दी गई संख्याओं की कुल संख्या = 3

अत: दिये गये संख्याओं का औसत = ⁶⁄₃ = 2

अत: औसत = 2 उत्तर

(2) 1, 2, 3, 4 और 5 का औसत निकालें।

हल:

हम जानते हैं कि,

दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

दी गई संख्याओं का योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

तथा दी गई संख्याओं की कुल संख्या = 5

अत: औसत = ¹⁵⁄₅ = 3

अत: दी गई संख्याओं का औसत = 3 उत्तर

(3) 15, 16, 17, 20 और 12 का औसत निकालें

हल :

हम जानते हैं कि,

दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

अत: दी गई संख्याओं का औसत = ^{15 + 16 + 17 + 20 + 12}⁄₅

= ⁸⁵⁄₅ = 16

अत: दी गई संख्याओं का औसत = 16 उत्तर

(4) प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या होगा?

हल :

हम जानते हैं कि, गिनती की संख्याओं को प्राकृतिक संख़्या कहते हैं।

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं की सूची है

1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

हम जानते हैं कि,

दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

अत: औसत = ^{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}⁄₁₀

= ⁵⁵⁄₁₀ = 5.5

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 5.5 उत्तर

वैकल्पिक विधि

हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख़्याओं का योग = ^{n (n + 1)}⁄₂

यहाँ, n = 10

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग = ^{10 (10 + 1)}⁄₂

= ¹¹⁰⁄₂ = 55

तथा संख्याओं की कुल संख्या = 10

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = ⁵⁵⁄₁₀ = 5.5

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 5.5 उत्तर

लघु विधि

हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

हम जानते हैं कि प्रथम nप्राकृतिक संख़्याओं का योग = ^{n ( n + 1 )}⁄₂

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = ¹⁄₁₀ × ^{10 ( 10 + 1)}⁄₂

= ¹⁄₁₀ × ¹¹⁰⁄₂ = 5.5

अत: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 5.5 उत्तर

(5) प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या होगा ?

हल :

हम जानते हैं कि, गिनती की संख्याओं को प्राकृतिक संख़्या कहते हैं।

अत: प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याएं हैं

1, 2, 3, 4, . . . . . . . , 25

हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

[प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग सीधा सीधा उसे जोड़कर निकाला जा सकता है, परंतु दिये गये सूत्र का प्रयोग कर उन्हें जोड़ना अधिक आसान है। ]

हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख़्याओं का योग = ^{n ( n + 1 )}⁄₂

अत: प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग = ^{25 ( 25 + 1 )}⁄₂

= ^{25 × 26}⁄₂ = 325

यहाँ प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग = 325

तथा प्राकृतिक संख्याओं की संख्या = 25

अत: औसत = ³²⁵⁄₂₅ = 13

∴ प्रथम 25 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 13 उत्तर

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