औसत
सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए
क्रमागत संख्याओं के औसत के आधार पर संख्या ज्ञात करना भाग-2
प्रश्न संख्या (1) यदि चार क्रमागत विषम संख्या का औसत 16 है, तो संख्या ज्ञात करें।
हल
दिया गया है, चार क्रमागत विषम संख्या का औसत = 16
अत: संख्या = ?
मान लिया कि पहली संख्या = a
अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2
तथा तीसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2 + 2 = a + 4
तथा तीसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 4 + 2 = a + 6
हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: दी गयी संख्या का औसत, 16
⇒ 16 = a + 3
⇒ a + 3 = 16
⇒ a = 16 – 3
⇒ a = 13
अत: a + 2 = 13 + 2 = 15
और a + 4 = 13 + 4 = 17
और a + 6 = 13 + 6 = 19
अत: वांछित संख्या = 13, 15, 17 और 19 उत्तर
लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)
औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।
यहाँ दिया गया है, चार क्रमागत विषम संख्या का औसत = 16
अर्थात दी गयी चार क्रमागत विषम संख्या के बीच में स्थित संख्या = 16
इसका अर्थ है कि औसत 16 दूसरी और तीसरी विषम संख्या के बीच में अवस्थित है।
चूँकि संख्याएँ विषम हैं, अर्थात दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर 2 है।
अत: दूसरी विषम संख्या = 16 – 1 = 15
तथा तीसरी विषम संख्या = 16 + 1 = 17
स्पष्टत: पहली विषम संख्या = 15 – 2 = 13
तथा चौथी विषम संख्या = 17 + 2 = 19
अत: वांछित विषम संख्या = 13, 15, 17 और 19 उत्तर
प्रश्न संख्या (2) यदि तीन क्रमागत सम संख्या का औसत 20 है, तो संख्या ज्ञात करें।
हल :
दिया गया है, तीन क्रमागत सम संख्या का औसत = 20
अत: संख्या = ?
मान लिया कि पहली संख्या = a
अत: दूसरी क्रमागत सम संख्या = a + 2
उसी प्रकार तीसरी क्रमागत सम संख्या = a + 2 + 2 = a + 4
हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: दी गयी संख्याओं का औसत, 20
⇒ a + 2 = 20
⇒ a = 20 – 2
अत: a = 18
अत: a + 2 = 18 + 2 = 20
तथा a + 4 = 18 + 4 = 22
अत: वांछित संख्या = 18, 20 और 22 उत्तर
लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)
औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।
यहाँ दिया गया है, तीन क्रमागत सम संख्या का औसत = 20
अर्थात दी गयी तीन क्रमागत सम संख्या के बीच में स्थित संख्या = 20
इसका अर्थ है कि औसत 20 पहली और तीसरी सम संख्या के बीच में अवस्थित है।
चूँकि संख्याएँ सम हैं, अर्थात दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर 2 है।
अत: पहली संख्या = 20 – 2 = 18
तथा तीसरी संख्या = 20 + 2 = 22
अत: वांछित संख्या = 18, 20 और 22 उत्तर
प्रश्न संख्या (3) यदि सात क्रमागत सम संख्याओं का औसत 50 है, तो सबसे बड़ी संख्या क्या है?
हल :
दिया गया है, 7 क्रमागत सम संख्याओं का औसत = 50
तो सबसे बड़ी संख्या = ?
मान लिया कि पहली संख्या = a
अत: दूसरी क्रमागत सम संख्या = a + 2
उसी तरह तीसरी क्रमागत सम संख्या = a + 2 + 2 = a + 4
उसी तरह चौथी क्रमागत सम संख्या = तीसरी संख्या + 2
= a + 4 + 2 = a + 6
उसी तरह पाँचवी क्रमागत सम संख्या = चौथी संख्या + 2
= a + 6 + 2 = a + 8
उसी तरह छ्ठी क्रमागत सम संख्या = पाँचवी संख्या + 2
= a + 8 + 2 = a + 10
तथा सातवीं क्रमगत सम संख्या = छ्ठी संख्या + 2
= a + 10 + 2 = a + 12
अब सभी 7 क्रमागत सम संख्याओं का योग = a + a + 2 + a + 4 + a + 6 + a + 8 + a + 10 + a + 12
= 7a + 42
हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
⇒ दी गयी सम संख्याओं का औसत, 50
⇒ 50 = a + 6
⇒ a + 6 = 50
⇒ a = 50 – 6
इसलिए a = 44
अत: दूसरी संख्या = a + 2
= 44 + 2 = 46
तथा तीसरी संख्या = a + 4
= 44 + 4 = 48
तथा चौथी संख्या = a + 6
= 44 + 6 = 50
तथा पाँचवी संख्या = a + 8
= 44 + 8 = 52
तथा छ्ठी संख्या = a + 10
= 44 + 10 = 54
तथा सातवीं संख्या = a + 12
= 44 + 12 = 56
अत: दी गयी वांछित संख्याएँ = 44, 46, 48, 50, 52, 54 और 56
स्पष्टत: सबसे बड़ी संख्या = 56 उत्तर
लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)
औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।
यहाँ दिया गया है, सात क्रमागत सम संख्या का औसत = 50
अर्थात दी गयी 7 क्रमागत सम संख्या के बीच में स्थित संख्या = 50
इसका अर्थ है कि औसत 50 तीसरी और पाँचवी सम संख्या के बीच में अवस्थित है अर्थात चौथी संख्या 50 है।
चूँकि संख्याएँ सम हैं, अर्थात दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर 2 है।
स्पष्टत: सातवीं संख्या सबसे बड़ी संख्या है।
चूँकि यहाँ 50 चौथी संख्या है,
अत: 50 + 2 = 52 पाँचवी संख्या है।
तथा 52 + 2 = 54 छ्ठी संख्या है।
तथा 54 + 2 = 56 सातवीं संख्या है।
अत: सबसे बड़ी संख्या = 56 उत्तर
प्रश्न संख्या (4) यदि पाँच क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का औसत 7 है, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या क्या है?
हल :
दिया गया है, 5 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 7
अत: सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या = ?
मान लिया कि पहली संख्या = a
अत: दूसरी क्रमागत प्राकृतिक संख्या = a + 1
तथा तीसरी क्रमागत प्राकृतिक संख्या = a + 1 + 1 = a + 2
तथा चौथी क्रमागत प्राकृतिक संख्या = a + 2 + 1 = a + 3
तथा पाँचवी क्रमागत प्राकृतिक संख्या = a + 3 + 1 = a + 4
अब सभी दी गयी संख्याओं का योग = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4)
= a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4
= 5a + 10
हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: दी गयी 5 संख्याओं का औसत, (7)
⇒ 7 = a + 2
⇒ a + 2 = 7
⇒ a = 7 – 2
⇒ a = 5
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
तथा सबसे बड़ी संख्या = a + 4 = 5 + 4 =9
अत: सबसे छोटी संख्या = 5 तथा सबसे बड़ी संख्या = 9 उत्तर
लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)
औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।
यहाँ दिया गया है, पाँच क्रमागत प्राकृतिक संख्या का औसत = 7
अर्थात दी गयी 5 क्रमागत प्राकृतिक संख्या के बीच में स्थित संख्या = 7
इसका अर्थ है कि औसत 7 दूसरी और चौथी प्राकृतिक संख्या के बीच में अवस्थित है अर्थात तीसरी संख्या 7 है।
चूँकि संख्याएँ प्राकृतिक हैं, अर्थात दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर 1 है।
अत: पहली संख्या सबसे छोटी तथा पाँचवी संख्या सबसे बड़ी है।
चूँकि यहाँ 7 तीसरी संख्या है,
अत: पहली संख्या = 7 – 1 – 1
अत: पहली संख्या = 5
तथा पाँचवी संख्या = 7 + 1 + 1 = 9
अत: सबसे छोटी संख्या = 5 तथा सबसे बड़ी संख्या = 9 उत्तर
प्रश्न संख्या (5) प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं का औसत क्या होगा?
हल :
हम जानते हैं कि संख्या जिनका 1 और स्वयं के अलावे कोई गुणक नहीं होता है, अभाज्य संख्या (प्राइम नम्बर) कहलाती हैं।.
अत: प्रथम पाँच अभाज्य संख्या (प्राइम नम्बर)
= 3, 5, 7, 11, और 13
हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: दी गयी प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं (प्राइम नम्बर) का औसत = 3+5+7+11+13/5
= 39/5 =7.8
अत: प्रथम पाँच अभाज्य संख्या (प्राईम नम्बर) का औसत = 7.8 उत्तर
Reference: