औसत

सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए

किसी संख्या के जोड़ने से औसत बढ़ जाने पर संख्या ज्ञात करना

प्रश्न संख्या (1) क्लास 3 के विद्यार्थियों के उम्र का औसत 9 वर्ष है। क्लास 5 के विद्यार्थियों के उम्र का औसत 10 वर्ष है। यदि क्लास 3 में विद्यार्थियों की संख्या 40 तथा क्लास 5 में विद्यार्थियों की संख्या 50 है, तो सभी विद्यार्थियों के उम्र का औसत कितना है?

हल:

दिया गया है, क्लास 3 के विद्यार्थियों की संख्या = 40

क्लास 3 के विद्यार्थियों की उम्र का औसत = 9 वर्ष

क्लास 5 में विद्यार्थियों की संख्या = 50

क्लास 5 के विद्यार्थियों की उम्र का औसर = 10 वर्ष

अत: सभी विद्यार्थियों की उम्र का औसत = ?

अब,

क्लास 3 के सभी विद्यार्थियों की कुल उम्र = क्लास 3 के विद्यार्थियों की कुल संख्या × औसत उम्र

= 40 × 9 वर्ष

अत: क्लास 3 के सभी विद्यार्थियों की कुल उम्र = 360 वर्ष

तथा क्लास 5 के विद्यार्थियों की कुल उम्र = 50 × 10 वर्ष

= 500 वर्ष

अब सभी विद्यार्थियों की कुल उम्र = क्लास 3 के विद्यार्थियों की कुल उम्र + क्लास 5 के विद्यार्थियों की कुल उम्र

= 360 वर्ष + 500 वर्ष

= 860 उम्र

विद्यार्थियों की कुल संख्या = क्लास 3 के विद्यार्थियों की कुल संख्या + क्लास 5 के विद्यार्थियों की कुल संख्या

= 40 + 50 = 90

सभी विद्यार्थियों के उम्र का औसत = सभी विद्यार्थियों की कुल उम्र / विद्यार्थियों की कुल संख्या

= 860/90 = 9.55 वर्ष

अत: सभी विद्यार्थियों की उम्र का औसत = 9.55 वर्ष उत्तर

प्रश्न संख्या (2) 100 में से रेयान ने अंग्रेजी में 40 अंक प्राप्त किया, गणित में 70 अंक प्राप्त किया, फिजिक्स में 60 अंक प्राप्त किया तथा केमेष्ट्री में 50 अंक प्राप्त किया। तो रेयान का औसत अंक कितना है?

हल :

दिया गया है, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 40

गणित में प्राप्त अंक = 70

फिजिक्स में प्राप्त अंक = 60

केमेष्ट्री में प्राप्त अंक = 50

विषयों की कुल संख्या = 4

अत: रेयान द्वारा प्राप्त किये गये अंको का कुल प्रतिशत = ?

हम जानते हैं कि औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या

अत: औसत अंक = सभी विषयों में प्राप्त किया गया कुल अंक/विषयों की संख्या

= 40 + 70 + 60 + 50/4

= 220/4 = 55

अत: रेयान द्वारा प्राप्त किये गये अंकों का औसत = 55 उत्तर

प्रश्न संख्या (3) यदि 3, 2, p और 6 का औसत 4 है, तथा 3, 4, 6, p और q का औसत 6, तो p और q का मान क्या है?

हल:

दिया गया है, 3, 2, p और 6 का औसत = 4

तथा 3, 4, 6, p और q का औसत = 6

अत: p और q का मान = ?

हम जानते हैं कि औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या

अत: 3, 2, p और 6 का औसत = 3 + 2 + p + 6/4

⇒ 4 = 11 + p/4

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

4 × 4 = 11 + p

⇒ 16 = 11 + p

⇒ 11 + p = 16

⇒ p = 16 – 11

⇒ p = 5 - - - - (i)

अब 3, 4, 6, p तथा q का औसत = 3 + 4 + 6 + p + q/5

⇒ 6 = 13 + p + q/5

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

6 × 5 = 13 + p + q

⇒ 30 = 13 + p + q

⇒ 13 + p + q = 30

उपर के ब्यंजक में समीकरण (i) से p का मान = 5 रखने पर हम पाते हैं कि

13 + 5 + q = 30

⇒ 18 + q = 30

⇒ q = 30 – 18

⇒ q = 12

अत: p = 5 और q = 12 उत्तर

प्रश्न संख्या (4) 9, 13 और p का औसत 11 है तथा 8, p, 15, q और 21 का औसत 15, तो p और q का मान क्या है?

हल :

दिया गया है, 9, 13 और p का औसत = 11

तथा 8, p, 15, q और 21 का औसत = 15

अत: p और q का मान = ?

हम जानते हैं कि = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या

अत: 9, 13 और p का औसत = 9 + 13 + p/3

⇒ 11 = 22 + p/3

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

11 × 3 = 22 + p

⇒ 33 = 22 + p

⇒ 22 + p = 33

p = 33 – 22

p = 11 - - - - - (i)

पुन: 8, p, 15, q और 21 का औसत = 8 + p + 15 + q + 21/5

⇒ 15 = 44 + p + q/5

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

15 × 5 = 44 + p + q

⇒ 75 = 44 + p + q

⇒ 75 – 44 = p + q

⇒ 31 = p + q

p + q = 31

समीकरण (i) से p का मान p = 11 रखने पर हम पाते हैं कि

11 + q = 31

q = 31 – 11

q = 20

अत: p = 11 और q = 20 उत्तर.

प्रश्न संख्या (5) तीन क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 13 है। यदि इसमें एक तीसरी विषम संख्या जोड़ दी जाती है, तो औसत 3 बढ़ जाता है, तो जोड़ी गयी यह चौथी संख्या क्या है?

हल:

दिया गया है, दिया गया है तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत = 13

तथा तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत + एक और चौथी विषम संख्या का औसत = 13 + 3

अत: जोड़ी गयी अतिरिक्त चौथी संख्या = ?

मान लिया कि पहली विषम संख्या = m

अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = m + 2

तथा तीसरी विषम क्रमागत संख्या = m + 4

हम जानते हैं कि औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या

अत: तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत = संख्याओं का योग / 3

⇒ 13 = m + m + 2 + m + 4/3

⇒ 13 = 3 m + 6/3

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

13 × 3 = 3 m + 6

⇒ 39 = 3 m + 6

3 m + 6 = 39

3 m = 39 – 6

3 m = 33

⇒ m = 33/3 = 11

3 m = 11

अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = m + 2

= 11 + 2 = 13

तथा तीसरी क्रमागत विषम संख्या = m + 4

= 11 + 4 = 15

अत: वांछित तीन क्रमागत विषम संख्या = 11, 13 और 15

अब मान लिया कि एक चौथी संख्या जो जोड़ी गयी है = q

अत: तीनों दी गयी क्रमागत संख्या का औसत + 3 = सभी चारों संख्या का योग / 4

⇒ 13 + 3 = 11 + 13 + 15 + q/4

⇒ 16 = 39 + q/4

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

16 × 4 = 39 + q

⇒ 64 = 39 + q

⇒ 64 – 39 = q

⇒ 25 = q

q = 25

अत: वांछित चौथी संख्या = 25 उत्तर

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