औसत

सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए

क्रमागत संख्याओं के औसत के आधार पर संख्या को ज्ञात करना

प्रश्न संख्या (1) यदि तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का औसत 3 है तो संख्या ज्ञात करें।

हल:

दिया गया है, तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 3

अत: संख्या = ?

मान लिया कि प्रथम संख्या = a

अत: दूसरी क्रमागत प्राकृतिक संख्या = a + 1

तथा तीसरी क्रमागत संख्या = a + 1 + 1 = a + 2

हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

अत: दी गई संख्याओं का औसत

⇒ 3 = a + 1

⇒ a + 1 = 3

⇒ a = 3 – 1

⇒ a = 2

अत: दूसरी संख्या = a + 1 = 2 + 1 = 3

तथा तीसरी संख्या = a + 2 = 2 + 2 = 4

अत: संख्या = 2, 3 तथा 4 उत्तर

लघु विधि (शॉर्टकट मेथड)

औसत का अर्थ होता है बीच का।

यहाँ दिया गया है, तीन क्रमागत संख्याओं का औसत = 3

इसका अर्थ है कि अंक 3 तीनों संख्याओं के मध्य में स्थित है।

अत: तीनों क्रमागत संख्याओं में बीच वाली संख्या = 3

इसलिए पहली संख्या = बीच की संख्या – 1

= 3 – 1 = 2

तथा तीसरी संख्या = बीच की संख्या + 1

= 3 + 1 = 4

अत: वांछित संख्या है, 2, 3, और 4 उत्तर

प्रश्न संख्या (2) यदि तीन क्रमागत संख्याओं का औसत 6 है, तो सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें।

हल :

दिया गया है, तीन क्रमागत संख्या का औसत = 6

अत: सबसे छोटी संख्या = ?

मान लिया कि पहली संख्या = a

अत: दूसरी क्रमागत संख्या = a + 1

तथा तीसरी क्रमागत संख्या = a + 1 + 1 = a + 2

हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

अत: तीनों क्रमागत संख्या का औसत = 6

⇒ 6 = a + 1

⇒ 6 – 1 = a

⇒ 5 = a

Thus, a = 5

अत: सबसे छोटी संख्या = 5 उत्तर

लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)

औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।

यहाँ दिया गया है, तीन क्रमागत संख्या का औसत = 6

अर्थात दी गयी तीनों क्रमागत संख्या के बीच में स्थित संख्या = 6

अत: पहली संख्या = बीच की संख्या – 1

= 6 – 1 = 5

तथा तीसरी संख्या = बीच की संख्या + 1

= 6 + 1 = 7

अत: वांछित संख्या हैं 5, 6, और 7

अत: सबसे छोटी संख्या = 5 उत्तर

प्रश्न संख्या (3) यदि 4 क्रमागत संख्या जा औसत 4.5 है, तो इनमें सबसे बड़ी संख्या क्या है?

हल

दिया गया है, 4 क्रमागत संख्या का औसत = 4.5

अत: सबसे बड़ी संख्या = ?

मान लिया दी गयी संख्याओं में पहली संख्या = a

अत: दूसरी संख्या = पहली संख्या + 1 = a + 1

तथा तीसरी संख्या = दूसरी संख्या + 1

= a + 1 + 1 = a + 2

तथा चौथी संख्या = तीसरी संख्या + 1

= a + 2 + 1 = a + 3

हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

अत: दी गयी संख्याओं का औसत

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

4.5 × 4 = 4a + 6

⇒ 18 = 4a + 6

⇒ 4a + 6 = 18

⇒ 4a = 18 – 6

⇒ 4a = 12

∴ a = ¹²/₄ = 3

अब सबसे बड़ी संख्या = a + 3

= 3 + 3 = 6

अत: वांछित सबसे बड़ी संख्या = 6 उत्तर

लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)

औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।

यहाँ दिया गया है, तीन क्रमागत संख्या का औसत = 4.5

अर्थात दी गयी तीनों क्रमागत संख्या के बीच में स्थित संख्या = 4.5

इसका अर्थ है कि यह औसत (मध्यवर्ती) संख्या, 2 सरी (दूसरी) और 3सरी (तीसरी) संख्या के बीच में है।

चूँकि औसत 4.5 है, इसका अर्थ है कि दूसरी संख्या 4 तथा तीसरी संख्या 5 है।

अत: पहली संख्या = दूसरी संख्या – 1

= 4 – 1 = 3

⇒ पहली संख्या = 3

उसी प्रकार चौथी संख्या = तीसरी संख्या + 1

= 5 +1 = 6

⇒ चौथी संख्या = 6

अत: दी गयी संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या = 6 उत्तर.

प्रश्न संख्या (4) यदि दो क्रमागत विषम संख्या का औसत 6 है तो संख्या बताएँ।

हल :

दिया गया है, दो क्रमागत विषम संख्या का औसत = 6

अत: संख्या = ?

मान लिया कि प्रथम विषम संख्या = a

अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2

हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

⇒ 6 = a + 1

⇒ a = 6 – 1

⇒ a = 5

अत: a + 2 = 5 + 2 = 7

अत: वांछित संख्या = 5 और 7 उत्तर

लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)

औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।

यहाँ दिया गया है, दो क्रमागत विषम संख्या का औसत = 6

अर्थात दी गयी दोनो क्रमागत विषम संख्या के बीच में स्थित संख्या = 6

इसका अर्थ है कि यह औसत (मध्यवर्ती) संख्या, जो 6 है, पहली और दूसरी संख्या जो विषम हैं, के बीच में स्थित है।

अत: पहली विषम संख्या = 6 – 1 = 5

तथा दूसरी विषम संख्या = 6 + 1 = 7

अत: वांछित विषम संख्या = 5 और 7 उत्तर

प्रश्न संख्या (5) यदि तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत 11 है, अत: संख्या ज्ञात करें।

हल :

दिया गया है, तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत = 11

अत: संख्या = ?

मान लिया कि पहली संख्या = a

अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2

तथा तीसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2 + 2 = a + 4

हम जानते हैं कि दिये गये संख्याओं का औसत = ^{दी गयी संख्याओं का योग}/_{दी गयी संख्याओं की कुल संख्या}

⇒ a + 2 = 11

⇒ a = 11 – 2

⇒ a = 9

अत: दूसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 2 = 9 + 2 = 11

तथा तीसरी क्रमागत विषम संख्या = a + 4 = 9 + 4 = 13

अत: वांछित संख्या = 9, 11 और 13 उत्तर

लघु विधि /औसत संबंधी इस प्रश्न को हल करने की ट्रिक (शॉर्टकट मेथड)

औसत का अर्थ होता है, "मध्यवर्ती" अर्थात संख्या जो दी गयी संख्याओं के बीच में स्थित है, उसका औसत हुआ।

यहाँ दिया गया है, तीन क्रमागत विषम संख्या का औसत = 11

अर्थात दी गयी तीन क्रमागत विषम संख्या के बीच में स्थित संख्या = 11

इसका अर्थ है कि औसत 11 दी गयी तीनों क्रमागत विषम संख्या की दूसरी संख्या है।

अत: पहली विषम संख्या = 11 – 2 = 9

तथा तीसरी विषम संख्या = 11 + 2 = 13

अत: वांछित संख्या = 9, 11 और 13 उत्तर

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