औसत
सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए
संख्याओं के प्रथम n गुणकों का औसत ज्ञात करना
औसत संबंधी प्रश्न एवं हल
प्रश्न संख्या (1) 4 के प्रथम 5 गुणक का औसत निकालें।
हल
4 का प्रथम 5 गुणक हैं
4, 8, 12, 16, 20
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: औसत = 4 + 8 + 12 + 16 + 20⁄5
= 60⁄5 = 12
अत: 4 के प्रथम 5 गुणकों का औसत = 12 उत्तर
प्रश्न संख्या (2) 6 के प्रथम 10 गुणकों का औसत निकालें।
हल
6 का प्रथम 10 गुणक हैं
= 6 ( 1, 2, 3, . . . . , 10 )
यहाँ ब्रैकेट के अंतर्गत की संख्याएं प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख़्याओं का योग = n ( n + 1 ) ⁄2
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का योग = 6 × 10 (10 + 1 ) ⁄2
= 3 (10 × 11)
⇒ 6 के प्रथम 10 गुणकों का योग = 330
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का औसत = 330⁄10 = 33
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का औसत = 33 उत्तर
वैकल्पिक विधि
6 के प्रथम 10 गुणकों की सूची है
= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का योग
= 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 42 + 48 + 54 + 60
= 330
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का औसत = 330⁄10 = 33
अत: 6 के प्रथम 10 गुणकों का औसत = 33 उत्तर
प्रश्न संख्या (3) 5 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालें।
हल :
5 के प्रथम 20 गुणकों की सूची है
= 5 (1, 2, 3, . . . , 20)
5 के प्रथम 20 गुणकों का योग
= 5 (1 + 2 + 3 + . . . . + 20)
यहाँ ब्रैकेट के अंदर की संख़्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं
हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n (n + 1)⁄2
अत: 5 के प्रथम 20 गुणकों का योग
= 5 × 20 ( 20 + 1 )⁄2
= 5 × 20 × 21⁄2
= 5 × 10 × 21
= 1050
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
5 के प्रथम 20 गुणकों का औसत = 1050⁄20
⇒ 5 के प्रथम 20 गुणकों का औसत = 52.5 उत्तर
प्रश्न संख्या (4) 10 के प्रथम 50 गुणकों का औसत निकालें।
हल :
10 के प्रथम 50 गुणक निम्नांकित हैं
= 10 (1, 2, 3, . . . . . . , 50)
यहाँ ब्रैकेट के अंदर की संख़्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं
हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n (n + 1)⁄2
अत: 10 के प्रथम 50 गुणकों का योग = 10 × 50 (50 + 1 )⁄2
= 5 × 50 × 51
अत: 10 के प्रथम 50 गुणकों का योग = 12750
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
यहाँ दे गई संख्याओं का योग = 12750
तथा संख्याओं की कुल संख्या = 50
अत: औसत = 12750⁄50 = 255
अत: 10 के प्रथम 50 गुणकों का औसत = 255 उत्तर
प्रश्न संख्या (5) 60 के प्रथम 500 गुणकों का औसत निकालें।
हल :
60 के प्रथम 500 गुणक
= 60 (1, 2, 3, . . . . . . , 500)
यहाँ ब्रैकेट के अंदर की संख्या प्राकृतिक संख्याएँ हैं
हम जानते हैं कि n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n ( n + 1 )⁄2
अत: 60 के प्रथम 500 गुणकों का योग = 60 × 500 (500 + 1 ) ⁄2
= 30 × 500 × 501
अत: 60 के प्रथम 500 गुणकों का योग = 7515000
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
यहाँ दी गयी संख्याओं का योग = 7515000
तथा दी गई संख्याओं की कुल संख्या = 500
अत: औसत = 7515000⁄500 =15030
अत: 60 के प्रथम 500 गुणकों का औसत = 15030 उत्तर
प्रश्न संख्या (6) प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
हल :
हम जानते हैं कि, गिनती की संख्याओं को प्राकृतिक संख़्या कहते हैं।
अत: प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं की सूची है
1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . 50
[दिये गये प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग सीधा सीधा उसे जोड़कर निकाला जा सकता है, परंतु दिये गये सूत्र का प्रयोग कर उन्हें जोड़ना अधिक आसान है। ]
हम जानते हैं कि प्रथम n प्राकृतिक संख़्याओं का योग = n ( n + 1 )⁄2
अत: प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग = 50 ( 50 + 1 )⁄2
= 50 × 51⁄2
= 2550⁄2 = 1275
हम जानते हैं कि, दी गई संख्याओं का औसत = दी गयी संख्याओं का योग/दी गयी संख्याओं की कुल संख्या
अत: दिये गये संख्याओं का औसत = 1275⁄50 = 25.5
अत: प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = 25.5 उत्तर
Reference: