प्रतिशत

सामान्य गणित: विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए

एक संख्या दूसरी का कितना प्रतिशत है?

प्रश्न संख्या: (1) 12% कर (Tax) लगने के बाद यदि एक कलम का बिक्रय मूल्य (Sales Price) 56.00 रूपया हो जाता है, तो उस कलम का अंकित मूल्य (Marked Price) निकालें।

हल:

दिया गया है, बिक्रय मूल्य = 56.00 रूपया

टैक्स की दर = 12%

अत: अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि कलम का अंकित मूल्य = 100 रूपया है।

अंकित मूल्य पर 12% की दर से कर (Tax)

= अंकित मूल्य का 12%

= 100 × 12%

= 100 × ¹²⁄₁₀₀ = 12

अत: कलम का बिक्रय मूल्य = अंकित मूल्य + अंकित मूल्य पर टैक्स

= 100 + 12 = 112 रूपया

अत: कलम का बिक्रय मूल्य = 112 रूपया

∵ जब बिक्रय मूल्य 112 रूपया है, तो अंकित मूल्य = 100 रूपया

∴ जब बिक्रय मूल्य 1 रूपया है, तो अंकित मूल्य = ¹⁰⁰⁄₁₁₂ रूपया

∴ जब बिक्रय मूल्य 56 रूपया है, तो अंकित मूल्य

= ¹⁰⁰⁄₁₁₂ × 56 = 50 रूपया

अत: कलम का अंकित मूल्य = 50 रूपया उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, बिक्रय मूल्य = 56.00 रूपया

टैक्स की दर = 12%

अत: अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि कलम का अंकित मूल्य = p रूपया है।

इसलिये कलम का बिक्रय मूल्य = अंकित मूल्य + अंकित मूल्य पर 12% टैक्स

= p + (p × ¹²⁄₁₀₀)

= p + ^{12 p}⁄₁₀₀

= ^{100 p + 12 p}⁄₁₀₀

= ^{112 p}⁄₁₀₀

अत: कलम का बिक्रय मूल्य = ^{112 p}⁄₁₀₀

∵ जब बिक्रय मूल्य ^{112 p}⁄₁₀₀ रूपया है, तो कलम का अंकित मूल्य = p रूपया है।

∴ जब बिक्रय मूल्य 1 रूपया है, तो कलम का अंकित मूल्य = ^p⁄₁⁄_{^{112 p}⁄100}

= p × ¹⁰⁰⁄_{112 p} रूपया है।

∴ जब बिक्रय मूल्य 56 रूपया है, तो कलम का अंकित मूल्य

= p × ¹⁰⁰⁄_{112 p} × 56 = 50 रूपया है।

अत: कलम का अंकित मूल्य = 50 रूपया उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, कलम का बिक्रय मूल्य = 56.00 रूपया

टैक्स की दर = 12%

तो, कलम का अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि कलम का अंकित मूल्य = x है।

यहाँ चूँकि टैक्स की दर अंकित मूल्य में जोड़ने के बाद बिक्रय मूल्य बनता है।

अत: बिक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + क्रय मूल्य का टैक्स प्रतिशत

⇒ बिक्रय मूल्य = x + x का 12%

⇒ बिक्रय मूल्य = x + x × ¹²⁄₁₀₀

⇒ बिक्रय मूल्य = x + ^{12 x}⁄₁₀₀

⇒ बिक्रय मूल्य = ^{100 x + 12 x}⁄₁₀₀

⇒ बिक्रय मूल्य = ^{112 x}⁄₁₀₀

⇒ 56 = ^{112 x}⁄₁₀₀

[चूँकि दिया गया है, कलम का बिक्रय मूल्य = 56.00 रूपया]

ऊपर प्राप्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ ^{112 x}⁄₁₀₀ = 56

बज्र गुणन से हम पाते हैं

⇒ 112 x = 56 × 100

⇒ x = ^{56 × 100}⁄₁₁₂

⇒ x = 50

अत: कलम का अंकित मूल्य = 50 रूपया उत्तर

प्रश्न संख्यां: (2) एक दुकानदार एक कपड़े को 84.00 रूपये मीटर बेचता है, जिसमें टैक्स का प्रतिशत 5 है, तो कपड़े का प्रति मीटर अंकित मूल्य (बिना टैक्स के मूल्य) क्या है।

हल:

दिया गया है, कपड़े का प्रति मीटर बिक्रय मूल्य = 84.00 रूपया

अंकित मूल्य पर टैक्स = 5%

अत: अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि कपड़े का अंकित मूल्य = 100 रूपया है।

अत: कपड़े पर लगने वाला टैक्स (5%) की दर से = 100 × ⁵⁄₁₀₀ = 5 रूपया

अत: टैक्स के साथ बिक्रय मूल्य

= अंकित मूल्य + टैक्स

= 100.00 + 5.00

अत: कपड़े का बिक्रय मूल्य = 105.00 रूपया

∵ जब बिक्रय मूल्य 105.00 रूपया है, तो अंकित मूल्य = 100.00 रूपया

∴ जब बिक्रय मूल्य 1 रूपया है, तो अंकित मूल्य = ¹⁰⁰⁄₁₀₅ रूपया

∴ जब बिक्रय मूल्य 84 रूपया है, तो अंकित मूल्य

= ¹⁰⁰⁄₁₀₅ × 84 = 80 रूपया

अत: कपड़े का अंकित मूल्य (बिना टैक्स के मूल्य) = 80.00 रूपया उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, कपड़े का प्रति मीटर बिक्रय मूल्य = 84.00 रूपया

अंकित मूल्य पर टैक्स = 5%

अत: अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि कपड़े का अंकित मूल्य = m रूपया है।

अत: कपड़े पर लगने वाला टैक्स (5%) की दर से = m × ⁵⁄₁₀₀ = ^5m⁄₁₀₀ रूपया

अत: टैक्स के साथ बिक्रय मूल्य

= अंकित मूल्य + टैक्स

= m + ^{5 m}⁄₁₀₀

= ^{100 m + 5 m}⁄₁₀₀

= ^{105 m}⁄₁₀₀

अत: कपड़े का बिक्रय मूल्य = ^{105 m} ⁄₁₀₀ रूपया

∵ जब बिक्रय मूल्य = ^{105 m}⁄₁₀₀ रूपया है, तो अंकित मूल्य m रूपया

∴ जब बिक्रय मूल्य 1 रूपया है, तो अंकित मूल्य = ^{m⁄_{105 m}}⁄₁₀₀ = m × ¹⁰⁰⁄_{105 m}

∴ जब बिक्रय मूल्य 84 रूपया है, तो अंकित मूल्य

^{100 m}⁄_{105 m} × 84 = 80 रूपया

अत: कपड़े का अंकित मूल्य (बिना टैक्स के मूल्य) = 80.00 रूपया उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, कपड़े का प्रति मीटर बिक्रय मूल्य = 84.00 रूपया

अंकित मूल्य पर टैक्स = 5%

अत: अंकित मूल्य = ?

मान लिया कि अंकित मूल्य = x रूपया है।

यदि अंकित मूल्य 100% है, तो बिक्रय मूल्य = 100% + 5% = 105%

अर्थात, x का 105% = प्रतिमीटर बिक्रय मूल्य

⇒ x × ¹⁰⁵⁄₁₀₀ = 84

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

⇒ 105 x = 84 × 100

⇒ x = ^{84 × 100}⁄₁₀₅

⇒ x = 80 रूपया

अत: कपड़े का अंकित मूल्य (बिना टैक्स के मूल्य) = 80.00 रूपया उत्तर

प्रश्न संख्या: (3) अंकित की आयु रोहित की आयु से 20% अधिक है। यदि अंकित की आयु 36 वर्ष है, तो रोहित की आयु ज्ञात करें।

हल:

दिया गया है, अंकित की उम्र = 36 वर्ष

रोहित की आयु से 20% अधिक = अंकित की आयु

अत: रोहित की आयु = ?

मान लिया कि रोहित की आयु = a वर्ष

अत: अंकित की आयु = रोहित की आयु + रोहित की आयु का 20%

⇒ 36 = a + a × 20%

⇒ 36 = a + a × ²⁰⁄₁₀₀

⇒ 36 = a + ^{20 a}⁄₁₀₀

⇒ 36 = ^{100 a + 20 a} ⁄₁₀₀

⇒ ^{120 a}⁄₁₀₀ = 36

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि,

120 a = 36 × 100 = 3600

∴ a = ³⁶⁰⁰⁄₁₂₀ = 30

अत: रोहित की आयु = 30 वर्ष उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, अंकित की उम्र = 36 वर्ष

रोहित की आयु से 20% अधिक = अंकित की आयु

अत: रोहित की आयु = ?

मान लिया कि रोहित की आयु = 100

अत: अंकित की आयु = रोहित की आयु + रोहित की आयु का 20%

= 100 + 100 × 20%

= 100 + 100 × ²⁰⁄₁₀₀ = 120 वर्ष

अत: अंकित की आयु = 120 वर्ष

∵ जब अंकित की आयु 120 वर्ष है, तो रोहित की आयु = 100 वर्ष

∴ जब अंकित की आयु 1 वर्ष है, तो रोहित की आयु = ¹⁰⁰⁄₁₂₀ वर्ष

∴ जब अंकित की आयु 36 वर्ष है, तो रोहित की आयु = ¹⁰⁰⁄_{120 × 36} = 30 वर्ष

अत: रोहित की आयु = 30 वर्ष उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, अंकित की उम्र = 36 वर्ष

रोहित की आयु से 20% अधिक = अंकित की आयु

अत: रोहित की आयु = ?

मान लिया कि रोहित की आयु = x वर्ष है।

यदि रोहित की आयु 100% है, तो अंकित की उम्र = 100% + 20% = 120%

अर्थात, x का 120% = अंकित की उम्र

⇒ x × ¹²⁰⁄₁₀₀ = 36

⇒ ^{120 x}⁄₁₀₀ = 36

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

⇒ 120 x = 36 × 100

⇒ x = ^{36 × 100}⁄₁₂₀

⇒ x = 30

अत: रोहित की आयु = 30 वर्ष उत्तर

प्रश्न संख्या: (4) राहुल की सैलरी अतुल की सैलरी से 35% अधिक है। यदि राहुल की सैलरी 5400 रूपये है, तो अतुल की सैलरी क्या है?

हल:

दिया गया है, राहुल की सैलरी = 5400 रूपये

राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी से 35% अधिक

अतुल की सैलरी = ?

मान लिया कि अतुल की सैलरी = 100 रूपया

प्रश्न के अनुसार, राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी + अतुल की सैलरी का 35%

= 100 + 100 × 35%

= 100 + 100 × ³⁵⁄₁₀₀

= 100 + 35 = 135

अत: राहुल की सैलरी = 135 रूपया

∵ जब राहुल की सैलरी 135 रूपया है, तो अतुल की सैलरी = 100 रूपया है

∴ जब राहुल की सैलरी 1 रूपया है, तो अतुल की सैलरी = ¹⁰⁰⁄₁₃₅ रूपया है

∴ जब राहुल की सैलरी 5400 रूपया है, तो अतुल की सैलरी = ¹⁰⁰⁄₁₃₅ × 5400

= 100 × 40 रूपया = 4000.00 रूपया

अत: अतुल की सैलरी = 4000.00 रूपया उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, राहुल की सैलरी = 5400 रूपये

राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी से 35% अधिक

अतुल की सैलरी = ?

मान लिया कि अतुल की सैलरी = m रूपया

अत: प्रश्न के अनुसार,

राहुल की सैलरी = m + m का 35%

⇒ 5400 = m + m × ³⁵⁄₁₀₀

⇒ 5400 = m + ^{35 m}⁄₁₀₀

⇒ 5400 = ^{100 m + 35 m}⁄₁₀₀

⇒ 5400 = ^{135 m}⁄₁₀₀

⇒ ^{135 m}⁄₁₀₀ = 5400

बज्र गुणन के बाद

⇒ 135 m = 5400 × 100

∴ m = ^{5400 × 100}⁄₁₃₅ = 4000

अत: अतुल की सैलरी = 4000.00 रूपया उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, राहुल की सैलरी = 5400 रूपये

राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी से 35% अधिक

अतुल की सैलरी = ?

मान लिया कि अतुल की सैलरी = m रूपया

अत: प्रश्न के अनुसार,

राहुल की सैलरी = m + m का 35%

= m + m × ³⁵⁄₁₀₀

= m + ^{35 m}⁄₁₀₀

= ^{100 m + 35 m}⁄₁₀₀

⇒ = राहुल की सैलरी = ^{135 m}⁄₁₀₀

∵ राहुल की सैलरी = ^{135 m}⁄₁₀₀ है, तो अतुल की सैलरी = m रूपया

∴ राहुल की सैलरी 1 है, तो अतुल की सैलरी = ^m⁄₁⁄_{^{135 m}⁄100} रूपया

∴ राहुल की सैलरी 5400 है, तो अतुल की सैलरी

= ^{100 m}⁄_{135 m} × 5400 = 4000 रूपया

अत: अतुल की सैलरी = 4000.00 रूपया उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, राहुल की सैलरी = 5400 रूपये

राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी से 35% अधिक

अतुल की सैलरी = ?

यदि अतुल की सैलरी 100% है,

तो राहुल की सैलरी = अतुल की सैलरी का 100% + 35% = 135% है।

मान लिया कि अतुल की सैलरी = x

तो, x का 135% = राहुल की सैलरी

अर्थात, x का 135% = 5400

[चूँकि दिया गया है, राहुल की सैलरी = 5400 रूपये]

⇒ x × ¹³⁵⁄₁₀₀ = 5400

बज्र गुणन से हम पाते हैं

⇒ 135 x = 5400 × 100

⇒ x = ^{5400 × 100}⁄₁₃₅ = 4000

अत: अतुल की सैलरी = 4000.00 रूपया उत्तर

प्रश्न संख्या: (5) अतुल की सैलरी 24000.00 है, जो कि राहुल की सैलरी से 20% कम है, तो राहुल की सैलरी क्या है?

हल:

दिया गया है, अतुल की सैलरी = 24000.00

अतुल की सैलरी = राहुल की सैलरी से 20% से कम

राहुल की सैलरी = ?

मान लिया कि राहुल की सैलरी = 100 रूपया

अत: अतुल की सैलरी = राहुल की सैलरी – राहुल की सैलरी का 20%

= 100 – (100 × 20%)

= 100   –   100 × ²⁰⁄₁₀₀

= 100 – 20 = 80

अर्थात अतुल की सैलरी = 80 रूपया

∵ जब अतुल की सैलरी 80 रूपया है, तो राहुल की सैलरी = 100 रूपया है

∴ जब अतुल की सैलरी 1 रूपया है, तो राहुल की सैलरी = ¹⁰⁰⁄₈₀ रूपया है

∴ जब अतुल की सैलरी 24000 रूपया है, तो राहुल की सैलरी

= ¹⁰⁰⁄₈₀ × 24000 = 30000 रूपया है

अत: राहुल की सैलरी = 30000 रूपया उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, अतुल की सैलरी = 24000.00

अतुल की सैलरी = राहुल की सैलरी से 20% से कम

राहुल की सैलरी = ?

मान लिया कि राहुल की सैलरी = m रूपया

अत: प्रश्न के अनुसार अतुल की सैलरी = राहुल की सैलरी – राहुल की सैलरी का 20%

⇒ 24000 = m – m × 20%

[चूँकि प्रश्न के अनुसार अतुल की सैलरी = 24000.00]

⇒ 24000 = m – m × ²⁰⁄₁₀₀

⇒ 24000 = m – ^{20 m}⁄₁₀₀

⇒ 24000 = ^{100 m – 20 m}⁄₁₀₀

⇒ 24000.00 = ^{80 m}⁄₁₀₀

बज्र गुणन के बाद

⇒ 80 m = 24000 × 100

∴ m = 24000 × ¹⁰⁰⁄₈₀

⇒ m = 300 × 100

⇒ m = 30000

अत: राहुल की सैलरी = 30000 रूपया उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, अतुल की सैलरी = 24000.00, जो कि राहुल की सैलरी से 20% क़म है।

अर्थात, यदि राहुल की सैलरी 100% है,

तो अतुल की सैलरी = 100% – 20% = 80% है।

अर्थात अतुल की सैलरी = राहुल की सैलरी का 80% है।

मान लिया कि राहुल की सैलरी = x

अर्थात, x का 80% = 24000

⇒ x × ⁸⁰⁄₁₀₀ = 24000

बज्र गुणन से हम पाते हैं

⇒ 80 x = 24000 × 100

⇒ x = ^{24000 × 100}⁄₈₀ = 30000

अत: राहुल की सैलरी = 30000 रूपया उत्तर

प्रश्न संख्यां: (6) यदि किसी संख्या को 25% कम कर देने पर वह 225 हो जाता है, तो वह संख्यां क्या है?

हल:

दिया गया है, 25% घटने या कम होने के बाद संख्या = 225

तो संख्यां = ?

मान लिया कि संख्या = 100

25% कम होने के बाद संख्यां = 100 – 100 × 25%

= 100 – 100 × ²⁵⁄₁₀₀ = 100 – 25 = 75

∵ जब कम होने के बाद संख्या 75 है, तो मूल संख्या = 100

∴ यदि कम होने के बाद संख्या 1 है, तो मूल संख्या = ¹⁰⁰⁄₇₅

∴ यदि कम होने के बाद संख्या 225 है, तो मूल संख्या = ¹⁰⁰⁄₇₅ × 225 = 300

अत: संख्यां = 300 उत्तर

वैकल्पिक विधि (Alternate Method)

दिया गया है, 25% घटने या कम होने के बाद संख्या = 225

तो संख्यां = ?

मान लिया कि संख्या = m

25% कम होने के बाद संख्या = m – ( m × 25% )

⇒ 225 = m – ( m × ²⁵⁄₁₀₀ )

[चूँकि प्रश्न के अनुसार 25% घटने या कम होने के बाद संख्या = 225]

⇒ 225 = m – ^{25 m} ⁄₁₀₀

⇒ ^{100 m – 25 m}⁄₁₀₀ = 225

⇒ ^{75 m}⁄₁₀₀ = 225

बज्र गुणन के बाद

⇒ 75 m = 225 × 100

∴ m = ^{225 × 100}⁄₇₅

⇒ m = 300

अत: संख्यां = 300 उत्तर

लघु विधि [शॉर्टकट मेथड (Shortcut Method)]

दिया गया है, दिया गया है, 25% घटने या कम होने के बाद संख्या = 225

तो संख्यां = ?

मान लिया कि संख्यां = x

चूँकि 25% कम हो जाने के बाद बची हुई संख्यां 100% – 25% = 75% हो जाती है।

अर्थात, x का 75% = 225

⇒ x × ⁷⁵⁄₁₀₀ = 225

बज्र गुणन से हम पाते हैं

⇒ 75 x = 225 × 100

⇒ x = ^{225 × 100}⁄₇₅ = 300

अत: संख्यां = 300 उत्तर

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