गुणनखंड और गुणज गुणनखंड
संख्या जो किसी संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करती है, उस संख्या का गुणनखंड कहलाती है। दूसरे शब्दों में किसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा-पूरा विभाजक होता है। उदाहरण: 2 × 8 =16. यहाँ 2 और 8 संख्या 16 को पूर्ण रूप से विभाजित करती हैं, अत: 2 और 8 संख्या 16 का गुणनखंड है। उसी प्रकार, 15 × 3 = 45 यहाँ 15 और 3, संख्या 45 को पूरी तरह विभाजित करती हैं, अत: 15 और 3, संख्या 45 के गुणनखंड हैं।
कुछ और उदाहरण
(a) 6 ÷ 3 = 2
यहाँ चूँकि 3, संख्या 6 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 3, संख्या 6 का एक गुणनखंड है।
(b) 6 ÷ 2 = 3
यहाँ चूँकि 2, संख्या 6 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 2, संख्या 6 का एक गुणनखंड है।
(c) 6 ÷ 1 = 6
यहाँ चूँकि 1, संख्या 6 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 1, संख्या 6 का एक गुणनखंड है।
(d) 6 ÷ 6 = 1
यहाँ चूँकि 6, संख्या 6 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 6, संख्या 6 का एक गुणनखंड है।
या, 6 × 1 = 6
अर्थात, 6 तथा 1, संख्या 6 के गुणनखंड हैं।
या, 3 × 2 = 6
या, 3 × 2 × 1 = 6
अर्थात, 3, 2, तथा 1 संख्या 6 के गुणनखंड हैं।
(e) 15 ÷ 5 = 3
यहाँ चूँकि 5, संख्या 15 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 5, संख्या 15 का एक गुणनखंड है।
(f) 51 ÷ 17 = 3
यहाँ चूँकि 17, संख्या 51 को पूरी तरह विभाजित करती है, अत: 17, संख्या 51 का एक गुणनखंड है।
या, 17 × 3 = 51
अर्थात, 17 तथा 5, संख्या 51 के गुणनखंड हैं। इसका अर्थ है
गुणा के पद
गुण्य, गुणक तथा गुणनफल
संख्या जिसे गुणा किया जाता है को गुण्य कहा जाता है। गुण्य को अंग्रेजी में मल्टीप्लिकेंड कहा जाता है।
वह संख्या जिससे किसी संख्या को गुणा किया जाता है, को गुणक कहा जाता है। गुणक को अंग्रेजी में मल्टीप्लिकेटर या मल्टीप्लायर कहा जाता है।
तथा गुणा के बाद प्राप्त फल या परिणाम को गुणनफल कहा जाता है। गुणनफल को अंग्रेजी में प्रोडक्ट कहा जाता है।
उदाहरण
इस दिये गये उदाहरण में 5 को 2 से गुणा करने पर परिणाम के रूप में 10 प्राप्त होता है।
अत: यहाँ 5 गुण्य है, 2 गुणक है, तथा 10 गुणनफल है।
गुणज
जब किसी गुण्य को किसी गुणक से गुणा किया जाता है तो गुण्य तथा गुणक के गुणनफल को गुण्य या गुणक का गुणज कहा जाता है। गुणज को अंग्रेजी में मल्टीपल्स कहा जाता है।
उदाहरण
5 × 1 = 5
यहाँ गुणफल 5 संख्या 5 या 1 का एक गुणज है।
5 × 2 = 10
यहाँ 5 तथा 2 गुणनफल 10 संख्या 5 या 2 का एक गुणज है।
5 × 3 = 15
यहाँ 5 तथा 3 गुणनफल 15, संख्या 5 या 3 का एक गुणज है।
7 × 3 = 21
यहाँ 7 तथा 3 गुणनफल 21, संख्या 7 या 3 का एक गुणज है।
गुणनखंड तथा गुणज के गुण
(a) एक संख्या खुद का एक गुणनखंड होती है।
उदाहरण
5 × 1 = 5
यहाँ संख्या 5 एक गुणनखंड तथा गुणनफल दोनों ही हैं।
(b) एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का एक गुणज होती है।
उदाहरण
5 × 4 = 20
यहाँ संख्या 20 अपने गुणनखंडों 5 तथा 4 का गुणज है।
(b) 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।
उदाहरण
7 × 1 = 7
8 × 1 = 8
9 × 1 = 9
ऊपर दिये गये उदाहरणों में 1 संख्याओं 7, 8, तथा 9 का एक गुणनखंड है।
चूँकि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है, अत: 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है।
(c) किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करता है।
उदाहरण
(i) 20 = 20 × 1
यहाँ 1 तथा 20, संख्या 20 के गुणनखंड हैं।
अर्थात, 1 तथा 20 जो संख्या 20 के गुणनखंड हैं, 20 को पूरा पूरा विभाजित करते हैं।
(ii) 20 = 10 × 2
यहाँ 10 तथा 2, संख्या 20 के गुणनखंड हैं।
अर्थात, 10 तथा 2 जो संख्या 20 के गुणनखंड हैं, 20 को पूरा पूरा विभाजित करते हैं।
(iii) 20 = 5 × 4
यहाँ 4 तथा 5, संख्या 20 के गुणनखंड हैं।
अर्थात, 4 तथा 5 जो संख्या 20 के गुणनखंड हैं, 20 को पूरा पूरा विभाजित करते हैं।
(iv) 20 = 5 × 2 × 2 × 1
यहाँ 5 तथा 2 तथा 1, संख्या 20 के गुणनखंड हैं।
अर्थात, 5 तथा 2 तथा 1, जो संख्या 20 के गुणनखंड हैं, 20 को पूरा पूरा विभाजित करते हैं।
(d) किसी भी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड या तो संख्या के बराबर या संख्या से छोटा होता है।
उदाहरण
(i) 50 = 5 × 5 × 2 × 1
यहाँ 5, 2 तथा 1, संख्या 50 के गुणनखंड हैं तथा 50 से छोटे हैं।
(ii) 50 = 50 × 1
यहाँ 50 तथा 1, संख्या 50 के गुणनखंड हैं। इनमें 50 संख्या के बराबर है तथा 1 संख्या से छोटा है।
(e) किसी संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित होती हैं।
60 = 60 × 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5 × 1
यहाँ संख्या 60 के कुल 6 गुणनखंड हैं। संख्या 60 के गुणनखंड हैं: 60, 1, 2, 2, 3, 5, तथा 1 कुल 6.
95 = 19 × 5 × 1
95 = 95 × 1
यहाँ 95 के गुणनखंड हैं: 95, 1, 19, तथा 5 तथा इन गुणनखंडों की कुल संख्या 4 हैं।
(f) एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।
उदाहरण
5 × 1 = 5
यहाँ 5 का गुणज 5 के बराबर है।
तथा 1 का गुणज जो 5 है, 1 से बड़ा है।
5 × 2 = 10
यहाँ 5 का गुणज 10 संख्या 5 से बड़ा है।
(g) किसी संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित होती है।
इसका अर्थ है कि आवश्यकता के अनुसार किसी भी संख्या के अपरिमित गुणज प्राप्त या ज्ञात किया जा सकता है।
उदाहरण
2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12 आदि
अर्थात 2 के अपरिमित गुणज हो सकते हैं।
सम्पूर्ण संख्या
संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या का दोगुना हो, को सम्पूर्ण संख्या कहा जाता है। सम्पूर्ण संख्या को अंग्रेजी में परफेक्ट नम्बर कहा जाता है।
सम्पूर्ण संख्या की दूसरी परिभाषा
यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का योग संख्या के बराबर हो, तो वैसी संख्या को सम्पूर्ण संख्या कहा जाता है। [यह परिभाषा किसी संख्या के केवल अभाज्य गुणनखंडों के साथ सत्य है।]
उदाहरण (a)
6 = 6 × 1
6 = 3 × 2
6 के कुल 4 गुणनखंड 1, 2, 3, तथा 6 हैं।
तथा 6 के गुणनखंडों का योग 12 है जो कि संख्या के दोगुनी है।
= 1 + 2 + 3 + 6 = 12
चूँकि 6 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या के दोगुनी (2 × 6 = 12) है, अत: 6 एक सम्पूर्ण संख्या है।
उदाहरण (b)
28 = 28 × 1
28 = 14 × 2
28 = 7 × 4
28 के कुल 6 गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14, तथा 28 हैं।
तथा 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या × 2 = 28 × 2 = 56 है।
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56
चूँकि 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या × 2 = 28 × 2 = 56 है अत: 28 एक सम्पूर्ण संख्या है।
सम्पूर्ण संख्याओं के कुछ अन्य उदाहरण
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056 आदि सम्पूर्ण संख्याओं के कुछ अन्य उदाहरण हैं।